Лекція 5 Тема: Квадратична форма в трьохвимірному просторі та її застосування до дослідження рівнянь поверхонь другого порядку План:

1. Квадратична форма у трьохвимірному просторі.

2. Дослідження рівнянь поверхонь другого порядку.

3. Інваріанти рівняння поверхонь другого порядку.

Короткий зміст лекції:

При квадратична форма має вид:

, .

В результаті ортогонального перетворення невідомих форма приймає канонічний вид:

,

тобто є сумою квадратів вектора в деякому ортонормованому базисі .

Коефіцієнти , , є коренями характеристичного рівняння матриці квадратичної форми і одночасно не дорівнюють нулю.

Для знаходження ортонормованого базису, в якому квадратична форма має канонічний вид, необхідно знайти власні вектори , , , які відповідають власним значенням перетворення А, породженого симетричною матрицею A квадратичної форми .

Одиничні вектори , , , де

,

,

,

задовольняють умовам:

; ;

; ; ,

,

оскільки , , .

Матриця ортогонального перетворення, яка переводить орти , , в орти , , , має вигляд:

.

Координати вектора в системі пов’язані з координатами цього ж вектора в системі за допомогою стовпців матриці :

,

,

.

Вектори , , визначають напрям нової прямокутної системи координат, в якій квадратична форма має канонічний вид, тобто є головними напрямками відповідної поверхні другого порядку.

Кожна поверхня другого порядку має принаймні три взаємно ортогональні головні напрями.

Нехай задано загальне рівняння поверхні другого порядку:

(1)

Ортогональним перетворенням невідомих зводимо дане рівняння до виду:

(2)

Це відповідає повороту системи координат навколо початку так, що вісі , , нової системи координат мають відповідно напрями , , . Наступним перетворенням паралельного зсуву, яке відповідає лінійному перетворенню невідомих , , за формулами:

,

,

,

зводимо рівняння (2) до канонічного виду.

Існує трикутна система координат, в якій рівняння (1) має один з наступних видів:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , .

В залежності від комбінації знаків рівняння типу а) визначає наступні поверхні:

Комбінація знаків	Канонічне рівняння поверхні	Назва поверхні
		Еліпсоїд
		Уявний еліпсоїд
		Точка або уявна конічна поверхня
		Однопорожнинний гіперболоїд
		Двопорожнинний гіперболоїд
		Конічна поверхня

Рівняння типу б) визначає еліптичний параболоїд, якщо і мають однакові знаки, і гіперболічний параболоїд, якщо знаки і різні.

Рівняння типу в) в залежності від знаків , , визначає наступні поверхні:

Комбінація знаків	Канонічне рівняння поверхні	Назва поверхні
		Еліптичний циліндр
		Уявний еліптичний циліндр
		Пара уявних площин із спільною дійсною прямою
		Пара площин, які перетинаються
		Гіперболічний циліндр

Рівняння типу г) визначає параболічний циліндр.

Рівняння типу д) визначає пару дійсних паралельних площин, якщо ; пару уявних паралельних площин, якщо ; пару площин, які співпадають, якщо .

Інваріантами лівої частини рівняння поверхні другого порядку відносно будь-яких перетворень декартової системи координат є наступні числові функції від коефіцієнтів цього рівняння:

;

;

;

;

Інваріант є інваріантом відносно повороту для будь-якої поверхні, але не є інваріантом відносно паралельного зсуву, отже, не є інваріантом відносно загального перетворення. називається півінваріантом (семиінваріантом).

Інваріант не є інваріантом відносно загального перетворення, тобто – півінваріант.

Для рівняння поверхні типу а):

, ;

, звідки .

Отже, рівняння приймає вид: .

Для поверхні типу б) маємо:

; ; ;

, звідки .

Рівняння приймає вид: .

Для поверхні типу в):

, ; ;;

.

Обчислимо :

, звідки .

Рівняння приймає вид: .

Для поверхні типу г):

, ; ; ; ;

, звідки .

Рівняння приймає вид: .

Для поверхні типу д):

, ; ; ; ; . Оскільки є інваріант для поверхні цього типу, то:

, звідки .

Рівняння приймає вид: , або .

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Запишіть алгебраїчне рівняння другого степеня з трьома невідомими.

2. Чи можна розглядати невідомі цього рівняння як координати деякого вектора евклідового простору?

3. Як за допомогою перетворення координат можна звести це рівняння до канонічного виду?

4. Визначте тип поверхонь:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Визначте вид поверхні і спростіть рівняння:

а) ;

б) .

Література:

1. В.П.Білоусова, І.Г.Ільїн, О.П.Сергунова, В.М.Котлова. Аналітична геометрія. – К.: Рад. шк., 1957. – Розд. ІХ, Х, ХІ, § 217 – 222.