Лекція 4 Тема: Застосування квадратичних форм до дослідження алгебраїчних рівнянь другого степеня План:

1. Квадратична форма у двовимірному просторі та її застосування до дослідження рівнянь кривих другого порядку.

2. Інваріанти рівнянь кривих другого порядку.

Короткий зміст лекції:

Розглянутий вище метод ортогонального перетворення, який зводить квадратичну форму до канонічного виду, ефективно застосовується при дослідженні алгебраїчних рівнянь другого степеня з n невідомими:

,

(1)

де – квадратична форма.

Нехай – деякий евклідовий простір з ортогональним перетворенням . Невідомі в рівнянні (1) будемо інтерпретувати як координати векторів в ортогональному базисі .

Нехай – множина елементів , одержана зсувом на вектор , тобто , де – фіксований вектор . Тому координати векторів і в ортонормованому базисі пов’язані співвідношенням .

Тоді рівняння (1) можна розглядати як алгебраїчні рівняння другого степеня відносно координат векторів з .

У просторі завжди можна знайти новий базис , в якому квадратична форма приймає канонічний вид, а тому і множину так, що рівняння (1), яке розглядається відносно координат векторів в базисі , має найбільш простий вид.

Щоб це зробити, треба, по-перше, здійснити ортогональне перетворення координат, яке зводить квадратичну форму до канонічного виду, і, по-друге, у перетвореному рівнянні звільнитися від лінійних членів, виділивши повні квадрати.

При n = 2 квадратична форма має вид:

.

Ортогональним перетворенням невідомих вона зводиться до канонічного виду:

,

тобто до суми квадратів координат векторів в деякому базисі .

Якщо і одного знаку, то квадратична форма належить до еліптичного типу, якщо і різних знаків, то – до гіперболічного типу, якщо одне з чисел або дорівнюють 0, то – до параболічного типу. Для знаходження базису, в якому квадратична форма має канонічний вид, необхідно знайти власні вектори , , які відповідають власним значенням і перетворення А, породженого симетричною матрицею А квадратичної форми .

Якщо

то матриця ортогонального перетворення, яка переводить орти , має вигляд (в рядках стоять координати образів базисних ортів відносно ортогонального перетворення Q).

Тоді координати вектора в системі пов’язані з координатами цього вектора в системі за допомогою стовпців в матриці Q:

Ортогональне перетворення Q за допомогою матриці означає поворот системи на деякий кут навколо початку координат.

Вектори визначають напрям нової прямокутної системи координат, в якій квадратична форма має канонічний вид.

Для її побудови достатньо знати головний напрям, тобто кут повороту системи хОу відносно початку координат, для якого , тобто є координатами одного з векторів або в базисі , отже:

.

Ортогональним перетворенням невідомих зводимо задане рівняння до виду:

.

Лінійним перетворенням невідомих і :

що відповідає паралельному зсуву системи , зводимо рівняння кривої другого порядку до канонічного виду.

З коефіцієнтами рівняння кривої другого порядку можна скласти такі функції , які не змінюють свого значення при будь-якому перетворенні невідомих. Такі функції називаються інваріантами лівої частини загального рівняння кривої відносно даного перетворення координат.

Інваріантами лівої частини рівняння кривої другого порядку відносно загального перетворення координат (повороту і паралельного зсуву) є наступні вирази:

Нехай

(*)

– загальне рівняння кривої другого порядку. Визначимо вид лінії, заданої цим рівнянням, за допомогою інваріантів.

1. Якщо , то загальним перетворенням системи координат рівняння лінії другого порядку зводиться до виду: .

Одержане рівняння визначає:

• Якщо , то – еліпс;

• Якщо , то – уявний еліпс;

• Якщо , то – точку;

• Якщо , то – гіперболу;

• Якщо , то – пару прямих, що перетинаються.

Якщо ; , то рівняння визначає параболу, канонічне рівняння якої має вид: .

Якщо ; ; то рівняння визначає пару паралельних прямих, найпростіші рівняння яких мають вид: .

• Якщо ; ; <0, то одержуємо пару дійсних паралельних прямих;

• Якщо ; ; >0 – пару уявних паралельних прямих;

• Якщо ; ; = 0 – пару прямих, які співпадають.

Контрольні питання для самоперевірки:

1. Запишіть алгебраїчне рівняння другого степеня з n невідомими.

2. Чи можна розглядати невідомі цього рівняння як квадрати деякого вектора евклідового простору?

3. Як за допомогою перетворення координат можна звести це рівняння до найбільш простого виду?

4. Звести загальне рівняння лінії другого порядку до канонічного виду та побудувати криву:

а) ;

б) ;

в) .

Випишіть одержані при розв’язуванні перетворення координат.

5. Визначить за допомогою інваріантів лінії другого порядку:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Література:

1. В.П.Білоусов, У.Г.Ільїн, О.П.Сергунова, В.М.Котлова. Аналітична геометрія. – К.: Рад. шк., 1957. – Розд. ІV, §196.

2. С.В.Бахвалов, Л.И.Бабушкин, В.П.Иваницкая. Аналитическая геометрия. – М.: Учпедгиз, 1962. – Гл VІІ, §42, 43.

3. С.Г.Колесник, В.В.Цыбуленко. Алгебра и теория чисел. Ч. ІІ. – Х.: ХГПИ, 1992. – Гл. ІV, §2.