Лекція 3 Тема: Ортогональне перетворення квадратичної форми до канонічного виду

План:

1. Теорема про існування ортогональної матриці, яка приводить симетричну матрицю до діагонального виду.

2. Теорема про зведення дійсної квадратичної форми до канонічного виду.

3. Практичне знаходження ортогонального перетворення, яке приводить квадратичну форму до канонічного виду.

Короткий зміст лекції:

Теорема 1. Для будь-якої симетричної матриці А можна знайти таку ортогональну проекцію Q, яка перетворює матрицю А до діагонального виду, тобто матриця , одержана трансформуванням матриці А матрицею Q, діагональна.

Доведення.

Нехай А – симетрична матриця n-го порядку. В просторі обираємо ортонормований базис , в якому матриця А задає симетричне перетворення φ. В просторі існує ортонормований базис з власних векторів перетворення φ; в цьому базисі φ задається діагональною матрицею.

Тоді

D = ,

(1)

де Q – матриця переходу від базису до базису , .

Ця матриця, як матриця переходу одного ортонормованого базису до іншого такого ж базису, буде ортогональною.

Теорему доведено.

Оскільки для ортогональної матриці Q її обернена матриця співпадає з транспонованою , то рівність (1) можна переписати у вигляді D=.

Саме так перетворюється симетрична матриця А квадратичної форми в результаті лінійного перетворення в діагональну матрицю, яку має квадратична форма, зведена до канонічного виду. Одержуємо наступну теорему:

Теорема 2. Будь-яка квадратична форма деяким ортогональним перетворенням невідомих може бути зведеною до канонічного виду.

Може існувати багато різних ортогональних перетворень невідомих, які приводять квадратичну форму до канонічного виду, але сам канонічний вид визначений однозначно.

Теорема 3. Яким би не було ортогональне перетворення квадратичної форми з матрицею А до канонічного виду, коефіцієнтами цього канонічного виду будуть характеристичні корені матриці А, узяті з їх кратностями.

Доведення.

Нехай квадратична форма деяким ортогональним перетворенням зведена до канонічного виду: . Це ортогональне перетворення залишає інваріантною суму квадратів невідомих, а тому, якщо β – нове невідоме, то:

.

(*)

Зауважимо, що в результаті лінійного перетворення визначник квадратичної форми помножується на квадрат визначника перетворення, дійсно, , де Q – матриця лінійного перетворення, А – матриця квадратичної форми, – матриця квадратичної форми після перетворення.

2) Квадрат визначника ортогонального перетворення дорівнює одиниці.

Розглянемо визначник квадратичної форми , одержуємо рівність

,

з якої випливає твердження теореми.

Цей результат можна подати в матричному формулюванні:

Якою б не була ортогональна матриця, що приводить до діагонального виду симетричну матрицю А, на головній діагоналі одержаної діагональної матриці будуть стояти характеристичні корені матриці А, взяті з їх кратностями.

Розглянемо питання про знаходження ортогонального перетворення, яке приводить квадратичну форму до канонічного виду, а саме, питання про знаходження ортогональної матриці Q, за допомогою якої симетрична матриця А зводиться до діагонального виду.

Матриця Q – це матриця переходу від базису до базису , (), тобто її рядки є квадратичними рядками (базисі ) ортогональної системи з n власних векторів симетричного перетворення φ, яке визначається матрицею А в базисі . Знайдемо таку систему власних векторів.

Нехай – будь-який характеристичний корінь матриці А кратності . Сукупність координатних рядків всіх векторів перетворення φ, що відповідають власному значенню , співпадає з сукупністю ненульових розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь:

;

оскільки А – симетрична матриця, то . Виходячи з теореми про існування ортогональної матриці, що приводить симетричну матрицю А до діагонального виду і єдиності такого діагонального виду, маємо, що для системи рівнянь

можна знайти лінійно незалежних розв’язків. Одержану систему розв’язків ортогоналізуємо і нормуємо.

Розглядаючи всі характеристичні корені симетричної матриці А і враховуючи, що сума кратностей цих коренів дорівнює n, одержуємо систему з n власних векторів перетворення φ, заданих їх координатам в базисі .

Цей метод знаходження ортогонального перетворення ще називається методом власних векторів перетворення квадратичної форми до канонічного виду.

Алгоритм перетворення квадратичної форми до канонічного виду методом власних векторів.

1. Знаходимо характеристичну матрицю матриці А квадратичної форми .

2. Розв’язуємо характеристичне рівняння і знаходимо власні значення деякого ортогонального перетворення форми .

3. Знаходимо власні вектори, що відповідають знайденим власним значенням. Для цього розв’язуємо однорідні системи рівнянь . Такими векторами є лінійно-незалежні розв’язки одержаних систем.

4. Ортогоналізуємо одержану систему векторів.

5. Нормуємо ортогональну систему векторів.

6. Записуємо канонічний вид квадратичної форми в базисі з одержаних ортонормованих векторів у вигляді .

7. Записуємо ортогональне перетворення, що зводить форму до виду : , де Q – ортогональна матриця, рядками якої є координати вищезазначених ортонормованих векторів; ;

Контрольні питання для самоперевірки:

1. Як побудувати ортогональне перетворення невідомих, що зводить задану квадратичну форму до канонічного виду?

2. Який зв’язок матриці ортогонального перетворення з власними векторами лінійного перетворення, що діє в евклідовому просторі, з матрицею, рівною матриці квадратичної форми?

3. Чи залежать канонічні коефіцієнти квадратичної форми від вибору ортогонального перетворення, що зводить її до канонічного виду?

4. Чи будь-яку квадратичну форму можна звісти до канонічного виду методом ортогональне перетворення невідомих?

5. Звести до канонічного виду квадратичну форму методом ортогонального перетворення невідомих та знайти це перетворення?

Література:

1. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1986.. – Гл. VІІІ, §37.

2. Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984. – Гл V, §3.

3. С.Г.Колесник, В.В.Цыбуленко. Алгебра и теория чисел. – ХГПИ, 1992. – Ч. ІІ, Х., гл. 4, §1,2.