Алгоритм зведення квадратичної форми до канонічного виду методом Лагранжа.

1. Якщо в формі відсутні квадрати невідомих, то виконуємо невироджене лінійне перетворення, яке привело б до появи квадрата одного з невідомих, наприклад,

з матрицею , яке приводить до появи квадрата невідомого в формі від невідомих .

2. Оскільки коефіцієнти при відмінні від нуля, виділяємо з форми квадрат за допомогою невиродженого перетворення

з матрицею .

3. Знаходимо матрицю , обернену до матриці С.

4. Виконуємо лінійне перетворення невідомих , для яких обернене має матрицю , і перетворюємо матрицю квадратичної форми за правилом:

.

Записуємо квадратичну форму від невідомих з матрицею , в якій виділено квадрат невідомого .

5. Аналогічно виділяємо квадрати інших невідомих з одержаних форм , зводимо форму до канонічного виду.

6. Записуємо лінійне перетворення, що приводить форму до канонічного виду у вигляді добутку матриць .

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Дайте означення квадратичної форми від n змінних.

2. Запишіть матрицю квадратичної форми .

3. Запишіть квадратичну форму п.2 в матричному вигляді.

4. Запишіть квадратичну форму, якщо її матриця має вид .

5. Як змінюється матриця квадратичної форми при лінійному перетворенні? Покажіть, що нова матриця є симетричною.

6. Чи змінюється ранг квадратичної форми при невиродженому перетворенні невідомих?

7. Чи зберігається кількість відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів квадратичної форми при невиродженому перетворенні невідомих?

8. В чому полягає метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного виду?

9. Чи будь-яку квадратичну форму можна звести методом Лагранжа до канонічного виду?

10. Нехай задана квадратична форма від n змінних. Яка розмірність матриці невиродженого перетворення змінних, яке приводить до канонічного виду?

11. Звести до канонічного виду методом Лагранжа квадратичні форми:

а) ;

б) .

Література:

1. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры, М., Наука, 1986. – Гл. V 13, §26.

2. Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984. – Гл V, §1.

3. С.Г.Колесник, В.В.Цыбуленко. Алгебра и теория чисел. – ХГПИ, 1992. – Ч.ІІ, гл.4.

Лекція 2 Тема: Закон інерції квадратичних форм План:

1. Додатно-визначені квадратичні форми.

2. Критерій Сильвестра додатності квадратичної форми.

3. Зведення квадратичної форми до нормального виду.

4. Закон інерції квадратичних форм

Короткий зміст лекції:

Будемо розглядати квадратичні форми з дійсними коефіцієнтами.

Означення. Квадратична форма називається додатно-визначеною, якщо всі її значення при дійсних значеннях невідомих, не рівні одночасно нулю, додатні.

Квадратична форма називається від’ємно-визначеною, якщо всі її значення від’ємні, за виключенням нульового значення при нульових значеннях невідомих.

Квадратична форма називається додатно- (від’ємно-) піввизначеною, якщо вона не приймає додатних (від'ємних) значень.

Квадратичні форми, які приймають як додатні, так і від’ємні значення, називаються невизначеними.

Приклади:

– додатно-визначена;

– додатно-визначена;

як форма від двох невідомих і додатно-визначена, але як форма від трьох невідомих , , – лише піввизначена.

Для n = 1 ненульова квадратична форма або додатно-визначена (при а > 0), або від’ємно-визначена (при а < 0). Невизначені форми з’являються при n = 2.

Теорема 1. Для того, щоб квадратична форма була додатно-визначеною, необхідно і достатньо, щоб після зведення її до канонічного виду всі коефіцієнти при квадратах нових невідомих були додатними.

Доведення.

Нехай форма перетворюється в канонічну за допомогою лінійного перетворення з невиродженою матрицею:

,

,

…………………………………

.

Це перетворення зворотне:

,

………………………………..

.

Якщо , то нерівність неможлива, а рівність можлива лише при , і, отже, при .

Якщо , то взявши при і , можна знайти відповідні значення невідомих , причому вони не будуть рівні нулю одночасно. Тоді .

Теорему доведено.

Наслідок. Якщо при деякому перетворенні форми до канонічного виду всі коефіцієнти при квадратах нових невідомих додатні, то і при будь-якому іншому перетворенні коефіцієнти канонічної форми будуть додатні.

Критерій Сильвестра. Для того, щоб квадратична форма від n невідомих була додатно-визначеною, необхідно і достатньо, щоб всі її головні мінори були строго додатні.

Означення. Мінори порядку 1, 2,…, n матриці квадратичної форми , розташовані в її лівому верхньому куту, тобто мінори з яких останній є визначником матриці А, називаються головними мінорами форми .

Канонічний вид, до якого зводиться задана квадратична форма, не є для неї одночасно визначниками: будь-яка квадратична форма може бути зведеною до канонічного виду багатьма різними способами.

З’ясуємо, що є спільного в тих різних канонічних формах, до яких зводиться задана форма , або за яких умов одна з двох даних квадратичних форм може бути переведеною в іншу невиродженим лінійним перетворенням.

Якщо розглядається комплексна квадратична форма рангу r, то допускається невироджене лінійне перетворення з комплексними коефіцієнтами, за допомогою якого форма зводиться до канонічного виду , де всі .

Оскільки з кожного комплексного числа добувається квадратний корінь, виконаємо наступне перетворення:

Воно приводить форму до виду:

,

(1)

який називається нормальним видом, це – просто сума квадратів r невідомих з коефіцієнтами, рівними одиниці. Нормальний вид залежить лише від рангу r форми , тобто всі квадратичні форми рангу r зводиться до одного і того ж нормального виду.

Отже, якщо дві форми і g від n невідомих мають однаковий ранг r, то завжди можна перевести в (1), а потім (1) в g.

Звідси випливає, що канонічним видом комплексної квадратичної форми рангу r може бути будь-яка сума квадратів r невідомих з будь-якими відмінними від нуля комплексними коефіцієнтами.

Нехай – дійсна квадратична форма і допускаються лише лінійні перетворення з дійсними коефіцієнтами. В цьому випадку не будь-яку квадратичну форму можна привести до вигляду (1), оскільки це вимагало б добування квадратного кореня з від’ємного числа.

Якщо тепер за нормальний вид квадратичної форми прийняти суму квадратів декількох невідомих з коефіцієнтами , то будь-яку квадратичну форму можна звести невиродженим лінійним перетворенням з дійсними коефіцієнтами до канонічного виду.

Канонічний вид форми рангу r з n невідомими можна записати так:

,

де всі числа відмінні від нуля і додатні. Тоді невироджене лінійне перетворення з дійсними коефіцієнтами зводить форму до нормального виду .

Загальна кількість квадратів, що входять сюди, дорівнює рангу форми.

Дійсна квадратична форма може бути зведеною до нормального виду різними перетвореннями, однак з точністю до нумерації невідомих, вона зводиться лише до одного нормального виду.

Закон інерції квадратичних форм.

Кількість додатних і кількість від’ємних квадратів у нормальному виді, до якого зводиться дана квадратична форма з дійсними коефіцієнтами дійсним невиродженим перетворенням, не залежить від вибору цього перетворення.

Кількість додатних квадратів в тій нормальній формі, до якої зводиться дана дійсна квадратична форма , називається додатнім індексом інерції цієї форми, кількість від’ємних квадратів – від’мним індексом інерції, різниця між додатним та від’ємним індексами інерції – сигнатурою форми .

Отже, дві квадратичні форми від n невідомих з дійсними коефіцієнтами тоді і тільки тоді перетворяться одна в іншу невиродженими дійсними лінійними перетвореннями, якщо ці форми мають однакові ранги і однакові сигнатури.

Доведення.

Нехай форма переводиться в форму g невиродженим дійсним перетворенням. Це перетворення не змінює рангу форми. Воно не змінює і сигнатури, оскільки в противному випадку і g зводились би до різних нормальних видів, і тоді форма зводилася б, в суперечність із законом інерції, до цих обох видів. Навпаки, якщо форми і g мають однакові ранги і однакові сигнатури, то вони зводяться до одного і того ж нормального виду і тому можуть переводитись одна в другу.

Контрольні питання для самоперевірки:

1. Дайте визначення додатно-визначеної квадратичної форми.

2. Чи може додатно-визначена квадратична форма мати:

а) від’ємні канонічні коефіцієнти?

б) канонічні коефіцієнти, рівні нулю?

в) ранг менший, ніж n?

3. Сформулюйте:

а) критерій Сильвестра;

б) необхідну і достатню умови додатності квадратичної форми.

4. Як звести квадратичну форму до канонічного виду?

5. За яких умов дійсну квадратичну форму можна перевести в іншу невиродженим лінійним перетворенням?

6. Сформулюйте закон інерції квадратичних форм

7. Дайте визначення додатного, від’ємного індексів інерції, сигнатури квадратичної форми.

8. Чи є квадратична форма додатно-визначеною?

Література:

1. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1986. – Гл. VІ, §27.

2. Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984. – Гл V, §2.

3. С.Г.Колесник, В.В.Цыбуленко. Алгебра и теория чисел. – ХГПИ, 1992. – Ч. ІІ, Х., гл. 4, §1.