Геометрические приложения производной.

Уравнение касательной к линии L, заданной уравнением , в ее точке имеет вид

.

Нормалью к линии L в ее точке называется прямая , проходящая через точку и перпендикулярная к касательной . Уравнение касательной имеет вид

.

Направлением линии L в ее точке называется направление касательной , проведенной к линии L в точке .

Углом между двумя пересекающимися в точке линиями называется угол между касательными, проведенными к линиям в точке их пересечения.

Кривизна линии. Пусть - гладкая линия, график функции . При этом - непрерывная функция, имеющая непрерывную первуюпроизводную при рассматриваемых значениях x . Углом смежности дуги линии называется угол между касательными в конечных точках дуги. Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги .

Кривизной линии в ее точке называется предел к которому стремится при :

.

Кривизна кривой графика функции в ее точке определяет меру изогнутости кривой и вычисляется по формуле

.

Исследование функций и построение графиков

Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

Функция называется возрастающей на некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если функция возрастает на некотором интервале, то на этом интервале. Если функция убывает на некотором интервале, то на этом интервале. Если , то возрастает в точке . Если , то убывает в точке .

Пусть функция в точке достигает своего наибольшего (наименьшего) значения в достаточно малой окрестности точки . Такая точка называется точкой локального максимума (минимума). Внутренние точки области определения функции , в которых функция достигает локального максимума или локального минимума объединяются единым названием точек экстремума. Точки экстремума разделяют интервалы монотонного поведения функции.

Необходимое условие существования экстремума: если функция достигает экстремума в некоторой точке , то первая про-

Рис. 53

изводная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

На рис. 53 , - точки максимума; , - точки минимума. ; - точка возврата, ; - угловая

точка, не определена.

Первое достаточное условие существования точки экстремума: если при переходе через точку первая производная меняет знак, то - точка экстремума, если, при этом, при переходе через точку слева направо первая производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума. В самой точке , согласно необходимому условию, первая производная равна нулю или не существует.

Второе достаточное условие существования точки экстремума: если , а , то - точка экстремума; при этом, если , то - точка минимума; если , то - точка максимума.

Схема исследования функции на экстремум

1. Определяется область существования функции.

2. Находятся точки, в которых равна нулю или не существует. Здесь эти точки называются критическими на экстремум.

3. С помощью одного из достаточных признаков в найденных критических точках фиксируется отсутствие или наличие экстремума и его характер (максимум или минимум).

4. Находятся значения функции в точках экстремума.

Схема отыскания наибольшего и наименьшего

значений функции в замкнутом интервале

Непрерывная функция принимает наибольшее и наименьшее значения на замкнутом интервале либо на конце интервала, либо во внутренней точке интервала, являющейся точкой экстремума. Отсюда схема

1. Определяется область существования функции.

2. Находятся точки экстремума и значения функции в этих точках, находящихся внутри рассматриваемого интервала.

3. Находятся значения функции на концах интервала.

4. Из найденных в пунктах 2 и 3 значений функции выбираются наибольшее и наименьшее.

Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба

Дуга называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в двух точках. В противном случае имеем невыпуклую дугу. Если дуга графика функции невыпуклая, то можно на оси OX выделить участки выпуклого поведения функции. Дуга графика функции называется выпуклой, если она расположена под любой своей касательной и вогнутой в противном случае. Если дуга графика функции выпукла на некотором интервале, то на этом интервале; если дуга вогнута, то . Если , то график функции выпукл в точке ; если , то график функции вогнут в точке . Точка графика функции , отделяющая выпуклую дугу от вогнутой называется точкой перегиба.

Абсцисса точки перегиба является точкой экстремума функции . Из этого обстоятельства следуют необходимое и достаточные условия существования точек перегиба.

Необходимое условие существования точки перегиба: если - точка перегиба графика функции , то либо равна нулю, либо не существует.

Первое достаточное условие существования точки перегиба: если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то - точка перегиба графика функции, если, при этом, при переходе через точку слева направо вторая производная меняет знак с плюса на минус, то слева имеем вогнутость графика функции, справа – выпуклость и наоборот.

Второе достаточное условие существования точки перегиба: если , а , то - точка перегиба графика функции; при этом, если , то слева имеем выпуклость графика функции, справа – вогнутость и наоборот.

Схема исследования функции на выпуклость и вогнутость

1. Ищутся точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки здесь называем критическими на перегиб.

2. С помощью одного из достаточных признаков существования точек перегиба фиксируются абсциссы точек перегиба и характер точек перегиба (выпуклость справа, вогнутость слева или наоборот).

3. Находятся значения функции в точках перегиба.

Асимптоты графика функции

Здесь рассматривается важный случай, когда при удалении переменной точки кривой в бесконечность (по x или по y) она неограниченно приближается к некоторой прямой А .

Прямая А называется асимптотой кривой - графика функции , если расстояние от переменной точки графика кривой до этой прямой, при удалении точки в бесконечность, стремится к нулю.

Различают случай вертикальных (параллельных оси OY) и наклонных (непараллельных оси OY) асимптот.

Вертикальные асимптоты. Из определения асимптот следует, что если или , то вертикальная прямая есть асимптота кривой ; и обратно: если - асимптота кривой, то выполняется одно из написанных выше соотношений.

Наклонные асимптоты. Если кривая имеет уравнение , а наклонная асимптота с уравнением , то параметры и асимптот определяются по формулам , . В последних формулах или , или . Если хотя бы один из двух последних пределов не существует, то наклонных асимптот не имеет.

Общая схема исследования функции и построение графика

Для функции определяются следующие элементы поведения:

1. Определяется область существования функции.

2. Исследуется поведение функции при значениях стремящихся к концам интервалов области существования. Здесь находятся точки разрыва функции, и устанавливается их характер; находятся вертикальные асимптоты.

3. Ищутся точки экстремума и значение функции в этих точках, определяются участки монотонного поведения функции.

4. Определяются интервалы выпуклого и вогнутого поведения функции, точки перегиба.

5.Отыскиваются точки пересечения функции с осями координат.

6. Находятся наклонные асимптоты.

Параллельно с выполнением пунктов схемы строится «скелет» графика функции, на который наносятся характерные точки и комментарии по поведению функции на отдельных интервалах (возрастание-убывание, выпуклость-вогнутость). Если функция является четной (нечетной), достаточно исследовать и построить ее при положительных значениях , при отрицательных значениях аргумента график функции достроится из соображений прямой (косой) симметрии. Если функция периодическая, то достаточно исследовать и построить ее график на интервале периода.