3. Введение в анализ

3.1. Переменная величина. Функция.

Переменной величиной называется величина, участвующая в процессе, которая на протяжении процесса принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой на протяжении процесса не меняются, называется постоянной величиной. В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной величины, у которой все численные значения на протяжении процесса одинаковы. Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,..., постоянные величины – буквами a, b, c,...

Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой переменной. Различают следующие области изменения переменной величины x .

Открытый промежуток или интервал – совокупность всех чисел x, заключенных между числами a и b (a<b), при этом сами числа a и b не принадлежат рассматриваемой совокупности. Интервал обозначают так: (a, b), что с помощью неравенств означает a<x<b. Принадлежность точки x к данному интервалу будем обозначать при помощи символа включения . Записи означает, что точка x является одной из точек открытого интервала .

Замкнутый интервал или отрезок – совокупность всех чисел x, заключенных между числами a и b , причем оба числа a и b принадлежат рассматриваемой совокупности. Отрезок обозначают так:

или с помощью неравенств axb , или .

Полузамкнутый промежуток – это такой промежуток, когда одно из ограничивающих промежуток чисел присоединяется к промежутку, а другое – нет. Тогда имеем (a, b] или [a, b), чему соответствуют неравенства a<xb и ax<b.

Если переменная x принимает всевозможные значения, большие чем a, то такой интервал обозначают (a, ), чему соответствуют неравенства a<x. Рассматриваются так же бесконечные интервалы и полузамкнутые бесконечные интервалы, задаваемые неравенствами

, , , .

Интервал длины 2l с центром в точке a называется l – окрестностью точки a . Координаты x точек, принадлежащих l – окрестности точки a, удовлетворяют неравенствам

Часто в прикладных дисциплинах, а, следовательно, и в математике, приходится рассматривать изменение одной переменной величины в зависимости от изменения другой (других) переменной величины. Например, путь, пройденный телом, зависит от времени движения; площадь круга зависит от радиуса окружности .

Если каждому значению переменной x из области ее изменения, соответствует одно определенное значение переменной y, то говорят, что y есть функция переменной x. Функцией называется правило, по которому значениям независимой переменной x соответствуют (находятся) значения рассматриваемой зависимой переменной y. Независимая переменная x в этом случае называется аргументом, а зависимая переменная y – функцией, при этом пишут .

Совокупность значений независимой переменной x для которых функция y имеет определенные действительные значения называется областью определения (существования) функции. Основными препятствиями к существованию функции в каких-либо точках служат: невозможность деления на ноль; отсутствие корня четной степени из отрицательного числа; отсутствие логарифма не положительного числа.

Основные способы задания функциональной связи: аналитический (когда связь между y и x задается формулой), графический и табличный. У каждого из этих способов имеются свои преимущества и недостатки. Преимущественным способом задания функции в математическом анализе является аналитический способ задания, основным достоинством которого является компактность задания и основным недостатком – отсутствие наглядности в поведении функции, которое искупается приспособленностью аналитического способа задания к методам математического анализа исследования поведения функций и построения графиков. Графический способ задания является самым наглядным способом задания функции. На графике видны все элементы поведения функции (точки экстремума, точки пересечения с осями координат, интервалы монотонного поведения функции и др.).

Функции, которые изучались в курсе элементарной (школьной) математики называются основными элементарными функциями. Это следующие функции:

- степенная функция , где k – действительное число;

- показательная функция , где и ;

- логарифмическая функция , где и ;

- тригонометрические функции

, , , ;

- обратные тригонометрические функции

, , , .

Если y является функцией переменной u , а u функционально зависит от переменной x, то y так же зависит от x . Пусть и , тогда называется функцией от функции или композицией функций. При этом x – независимая переменная (аргумент), u – промежуточный аргумент. Промежуточных аргументов может быть несколько. Так, например, функция последовательно состоит из степенной, обратной тригонометрической, показательной и дробно рациональной (рациональная комбинация степенных функций) и у нее можно указать три промежуточных аргумента.

Функции, образованные из основных элементарных функций и констант при помощи конечного числа арифметических действий и конечного числа действий взятия функции от функции называются элементарными функциями. Функции, построенные по приведенному правилу, могут выглядеть сколь угодно сложно, но при этом они будут оставаться элементарными функциями.

Ранее при аналитическом задании функции предполагалось, что функциональная связь между аргументом x и функцией y задается в виде разрешенном относительно y, когда в левой части уравнения связи стоит y, а переменная x и совокупность действий над ней стоят в правой части: . Такое задание функциональной связи называют явным. Если же связь между x и y задается в виде, не разрешенном относительно y: , то такое задание зависимости между функцией y и аргументом x называют неявным и говорят, что в этом случае функция y задана неявно. В анализе имеются приемы, приспособленные к изучению функций заданных неявно.