Дифференциал функции

Если - дифференцируемая функция при рассматриваемых значениях , то, используя свойства бесконечно малых величин, можно показать, что , где , то есть приращение функции состоит из двух частей, из которых первая часть - величина бесконечно малая при одного порядка малости с , она линейна относительно ; вторая часть - бесконечно малая высшего порядка малости, чем .

Главная часть приращения линейная относительно называется дифференциалом функции и обозначается . Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на приращение аргумента.

Если , то , таким образом, дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением. Теперь , или - производная функции равна отношению дифференциалов функции и независимой переменной.

При достаточно малых значениях , отсюда следует

или .

Последнее соотношение - формула применения дифференциала к приближенным вычислениям.

Свойства дифференциала

1. .

2. .

3. .

4. Если и , то . Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Такая независимость формы дифференциала функции от аргумента называется инвариантностью формы дифференциала по отношению к аргументу.

Геометрический смысл дифференциала

Из приводимого рис. 52 видно, что , но и . А тогда . Таким образом, геометрически дифференциал функции , соответствующий данным значениям x и , равен приращению ординаты касательной к кривой в данной точке .

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть имеем - новая функция переменной и можно вести разговор об отыскании производной от этой новой функции. Производная от (если она существует) называется второй производной или производной второго порядка от функции :

.

Третья производная - .

Производной n – го порядка называется производная от (n-1) производной. Геометрический смысл второй производной – ускорение с которым изменяется функция.

Дифференциал функции - зависит от x и .

- величина не зависящая от x (при заданном x значения выбираются произвольно). Рассматривая как функцию от x, возьмем - дифференциал второго порядка:

.

Аналогично .

Дифференциалом n –го порядка называется дифференциал от дифференциала (n-1) порядка как функции x :

.

Дифференциал n – го порядка равен произведению производной n – го порядка от функции на n – ю степень дифференциала независимой переменной. А тогда - производная n –го порядка равна отношению дифференциала функции n –го порядка к n – й степени дифференциала независимой переменной.

Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма (1601-1665 г.г.). Пусть функция , непрерывная в замкнутом интервале и принимает свое наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке этого интервала. Если в точке производная существует, то она обязательно равна нулю: .

Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что касательная к графику функции в его наивысшей (наинизшей) точке параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля (1652-1719 г.г.). Если - непрерывная функция в замкнутом интервале , дифференцируемая во всех внутренних точках этого интервала и имеет на концах интервала равные значения , то в этом интервале найдется хотя бы одна точка x=, такая, что .

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что на линии , где удовлетворяет условиям теоремы, найдется, по крайней мере, одна точка в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа (1736-1813 г.г.). Если - непрерывная функция в замкнутом интервале и дифференцируемая во всех внутренних точках этого интервала, то найдется внутри этого интервала точка x=, такая, что .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что внутри замкнутого интервала существует, по крайней мере, одна такая точка x= в которой касательная к графику функции СТ параллельна хорде АВ, где , и . Теорема Лагранжа носит название теоремы конечных приращений, поскольку производная здесь определяется не как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а как отношение конечных величин (не бесконечно малых) к .

Теорема Коши (1789-1859 г.г.). Если и - две функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемые внутри этого отрезка, причем внутри отрезка , то внутри отрезка найдется такая точка , что .

Правило Лопиталя (1661-1704 г.г.). Если две функции и при или совместно стремятся к или к , тогда, если отношение их производных имеет предел, то и отношение самих функций так же имеет предел, который равен пределу отношения их производных, т.е. .

Правило Лопиталя носит название правила раскрытия неопределенностей и раскрывает, при отыскании пределов, неопределенности типа и . Доказательства правила Лопиталя базируются на теоремах, приведенных выше.

Формула Тейлора (1685-1731 г.г.). Если - непрерывная функция, имеющая все производные до (n+1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку , то имеет место следующая формула Тейлора:

Здесь называется остаточным членом. Для тех значений , для которых остаточный член мал, многочлен по степеням двучлена дает приближенное представление функции . Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию многочленом с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена . Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид . Формула Тейлора облегчает приближенные вычисления с функцией , а вид остаточного члена позволяет производить эти приближенные вычисления с заданной высокой степенью точности.

Если в формуле Тейлора положить , то она запишется в виде

Этот частный случай формулы Тейлора иногда называют формулой Маклорена (1698-1746 г.г.).