Механический смысл производной
Скорость есть производная от пути (от функции пути) по времени (по независимой переменной – времени):
.
(3.6)
Сравнивая (3.5) с (3.6), видим, что
есть скорость изменения функции
(скорость возрастания или убывания) в
зависимости от изменения независимой
переменной
.
Если в точке
,
то
в этой точке возрастает, если
,
то
- убывает. Большему по абсолютному
значению величины
соответствует более быстрое изменение
функции. Таким образом, механический
смысл производной
-
скорость изменения функции
в фиксированной точке
.
Геометрический смысл производной
Из
приводимого рисунка (рис. 52) видно, что
ММ
- хорда ду-
Рис. 52
ги линии графика функции
;
МТ – касательная к графику
функции в точке М. При этом, когда
,
то точка М
перемещается по дуге линии, стремясь в
пределе занять положение точки М;
хорда ММ
при этом поворачивается вокруг точки
М , стремясь в пределе занять
положение касательной МТ, угол
в пределе стремится к углу
и тогда
.
Таким образом, производная функции
в точке x равна
тангенсу угла между касательной МТ
и осью OX .
Правила дифференцирования
Пусть y, u, v – функции переменной x; C – константа.
1.
- производная константы равна нулю.
2.
.
3.
.
4.
.
5. Если
и
,
то
.
6. Если
и
- взаимно обратные функции, то
,
.
Формулы дифференцирования
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
Дифференцирование функций заданных неявно
Если
- неявная функция переменной
,
т.е., связь между ними задается уравнением
,
тогда производную от этой функции можно
найти, дифференцируя уравнение
по
с учетом того, что
-
функция переменной
.
П р и м е р . Найти
,
если
.
Р е ш е н и е .
.
Таким образом, производная по
от функции заданной неявно, является
функцией переменных и
,
и
.
Функции, заданные параметрически и их дифференцирование
Пусть
и
-
функции одной и той же переменной
:
(3.7)
Задание этих функций означает задание
функциональной зависимости между
и
,
т.к., каждому значению
имеются значения
и
соответствующие друг другу.
Задание функциональной зависимости
между двумя переменными, состоящее в
том, что обе переменные определяются
каждая в отдельности как функции одной
и той же вспомогательной переменной,
называется параметрическим, а
вспомогательная переменная называется
параметром. Каждому значению параметра
соответствует пара чисел
и
,
и на графике в осях
- точка, множеству значений параметра
соответствует множество точек графика
– линия. Говорят, что линия задана
параметрически. При этом преимуществом
параметрического задания является
простота уравнений некоторых линий.
Так, например, параметрические уравнения окружности
Возводя обе части приведенных уравнений
в квадрат и складывая их почленно,
получим связь между y
и x без параметра
:
-
окружность радиуса a
с центром в начале координат. Такой
переход от параметрических уравнений
к уравнениям непосредственной связи
между x и y
называется исключением параметра.
Параметрические уравнения эллипса имеют вид
Если функциональная связь между
y и x
задается параметрически (3.7), то
производная
отыскивается по формуле
,
.