Непрерывность функции

Пусть (рис. 51) - начальное значение аргумента; x – конечное.

Приращением переменной величины x называется разность конечнго и начального значений этой переменной: .

Рис. 51

Приращением функции в точке называется разность .

Первое определение непрерывной функции. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки , и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции : .

Второе определение непрерывной функции. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки , и если предел функции равен значению функции в этой точке: .

Третье определение непрерывной функции. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки , и если предел функции равен функции от предела аргумента: .

Приведенные три определения непрерывной функции не являются независимыми, а следуют одно из другого. То или иное определение непрерывной функции лучше используется в той или иной конкретной ситуации. В частности, на основании третьего определения непрерывной функции можно менять местами символы предела и логарифма: .

Точки разрыва функции

Если в какой – либо точке функция не является непрерывной, то точка называется точкой разрыва функции, а функция называется разрывной в этой точке.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если левый и правый пределы функции в этой точке конечны и не равны между собой.

Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода. Сюда относятся точки бесконечного разрыва и другие.

Свойства непрерывных функций

1. Любая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

2. Если функции и непрерывны в точке x=x, то и функции , , , так же непрерывны в точке .

3. Если и - непрерывные функции своих аргументов, то функция от функции - непрерывная функция.

Следствие.

Любая элементарная функция непрерывна в точках, в которых она определена.

Из последнего следует, что точки разрыва нужно искать лишь среди точек, в которых функция не существует, т.е. среди точек, не принадлежащих области существования функции.

Функция называется непрерывной в замкнутом интервале , если она непрерывна во всех точках этого интервала.

Свойства функций непрерывных в замкнутом интервале

1. Функция непрерывная в замкнутом интервале, хотя бы в одной точке интервала принимает наибольшее значение М и хотя бы в одной точке наименьшее значение m .

2. Непрерывная в интервале функция принимает в этом интервале хотя бы один раз любое значение, заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями.

Следствие.

Функция непрерывная на , принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз внутри этого интервала обращается в нуль.

3.3. Производная Основные определения

Пусть - начальная точка, - конечная точка на оси OX .

Производной от функции по независимой переменной x в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда произвольным образом стремится к нулю:

. (3.5)

Действие отыскания производной от функции называется дифференцированием этой функции.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции выясняется в следующей теореме: Если функция дифференцируема в некоторой фиксированной точке x, то она в этой точке непрерывна.