3.2. Предел. Непрерывность. Предел переменной величины

Постоянное число a называется пределом переменной величины x, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного числа можно указать такое значение переменной x в процессе ее изменения, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству . При этом пишут или .

Свойства предела переменной:

1. Переменная величина может приближаться к своему пределу, возрастая, убывая или колеблясь.

2. Предел постоянной величины с равен самой постоянной, так как, всегда выполняется неравенство .

3. Переменная величина может иметь лишь один предел или вообще не имеет предела.

Переменная величина x стремится к бесконечности, если для каждого наперед заданного положительного числа M (как бы велико оно ни было) можно указать такое значение переменной x, в процессе ее изменения, начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству . Такую переменную величину называют бесконечно большой переменной величиной и пишут или .

Переменная величина x называется ограниченной, если существует такое число M>0, что для всех x выполняется неравенство .

Предел функции

Постоянное число A называется пределом функции y=f(x) при , если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех x , отличных от a и удовлетворяющих неравенству , имеет место и неравенство . Пишут .

Геометрический смысл предела функции можно понять из рис. 49. Из этого рисунка видно, что как только независимая переменная x попадает в - окрестность точки a, соответствующие значения функции y находятся в узкой полосе шириной , т.е. значения функции y мало отличаются от предельного значения A .

Рис. 49

Выражения () следует читать «предел функции f(x) равен A при x стремящемся к a слева (справа)». При этом, если , то существует A . Последний предел читается «предел функции f(x) равен A при x стремящемся к a произвольным образом». Если же , то не существует.

Может случиться, что функция стремиться к пределу, когда , или , так, например, . Иллюстрация этого случая приводится на следующем рис. 50.

Рис. 50

Функция называется ограниченной на некотором интервале оси OX, если существует такое число , что для всех из рассматриваемого интервала выполняется неравенство

Функция называется бесконечно большой (функциональной) величиной при , если для всякого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такое , что для всех x, для которых , имеет место неравенство . В этом случае пишут или . Так, функция в предыдущем примере является бесконечно большой величиной при . Здесь,

и .

Бесконечно малые величины и их свойства

Функция , стремящаяся к 0 при (), называется бесконечно малой величиной. Бесконечно малые величины обозначаются греческими буквами , , , . . .

Свойства бесконечно малых:

1. Если при - бесконечно малая величина, то - бесконечно большая величина и наоборот. То есть,

если , то и

если , то .

2. Если , то в окрестности предельной точки , где . Справедливо и обратное: если в окрестности предельной точки , где , то .

3. Сумма конечного числа бесконечно малых величин – бесконечно малая величина.

4. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую – величина бесконечно малая.

Следствия:

1) Произведение постоянной величины на бесконечно малую величину – величина бесконечно малая.

2) Произведение конечного числа бесконечно малых величин – бесконечно малая величина.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля – величина бесконечно малая.