2. Примеры выполнения заданий

Большую трудность при решении задач по теории вероятностей вызывают задания с использованием понятий комбинаторики. Поэтому рассмотрим примеры решения некоторых комбинаторных задач.

2.1.Пример 1

Сколькими способами читатель может выбрать три книжки из 5?

Решение.

Определение. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Таким образом, сочетания из n элементов по k элементов – это все k – элементные подмножества n – элементного множества, причем различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав.

Так по условию задачи имеется множество, состоящее из 5 книг. Читателю неважно, в каком порядке их брать, важно только их количество – 3. Следовательно, нам необходимо найти число сочетаний из 5 элементов по три элемента.

Так как число сочетаний находится по формуле

,

то искомое число способов будет равно .

2.2. Пример 2

В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого n – угольника, если никакие 3 из них не пересекаются в одной точке?

Решение.

Каждой точке пересечения двух диагоналей соответствует 4 вершины n – угольника, а каждым 4 вершинам n – угольника соответствует 1 точка пересечения (точка пересечения диагоналей четырехугольника с вершинами в данных точках). Поэтому число всех точек пересечения равно числу способов, которыми среди n вершин можно выбрать 4 вершины:

2.3. Пример 3

Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2, . . . ,2n} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

Решение.

Определение. Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n, где n – число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа.

Определение. Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества), называются перестановками этого множества.

Число перестановок множества из n элементов P_n равно

P_n = n!

Четные числа можно расставить на местах с четными номерами (таких мест n) n! способами; каждому способ размещения четных чисел на местах с четными номерами соответствует n! способов размещения нечетных чисел на местах с нечетными номерами. Поэтому общее число перестановок указанного типа равно n!n! = (n!)².

2.4. Пример 4

Сколько можно составить перестановок из n элементов, в которых данные два элемента не стоят рядом?

Решение.

Определим число перестановок, в которых данные два элемента a и b стоят рядом. Могут быть следующие случаи: a стоит на первом месте, a стоит на втором месте, . . ., a стоит на (n – 1) – месте, а b стоит правее a; число таких случаев равно n – 1. Кроме того, a и b можно поменять местами, и, следовательно, существует 2(n - 1) способов размещения a и b рядом. Каждому из этих способов соответствует (n – 2)! Перестановок других элементов. Следовательно, число перестановок, в которых a и b стоят рядом, равно 2(n - 1)(n - 2)! = 2(n – 1)!. Поэтому искомое число перестановок равно

n! – 2(n – 1)! = (n – 1)!(n – 2).