2.8. Мішаний добуток трьох векторів

Означення. Мішаним або векторно-скалярним добутком трьох упорядкованих векторів , і називається скалярна величина .

Мішаний добуток позначається символом .

Рис. 2. 14

Геометричний зміст мішаного добутку. Розглянемо паралелепіпед, побудований на векторах , і (рис. 2.14). Площа основи цього паралелепіпеда , а висота =, де знак плюс відповідає гострому куту (в цьому випадку вектори , , утворюють праву трійку), а знак мінус – тупому куту (в цьому випадку , , – ліва трійка). Отже, згідно з означенням скалярного добутку (2.11)

= =,

де – об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і , знак плюс відповідає правій трійці векторів , , , а знак мінус – лівій трійці.

Геометричне тлумачення мішаного добутку дозволяє сформулювати основні його властивості.

1) При циклічному переставленні співмножників мішаний добуток не змінюється:

= .

Справді, при такому переставленні не змінюються ні паралелепіпед (рис. 2.14), ні орієнтація трійки.

2) Мішаний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі три вектори компланарні.

Справді, компланарність співмножників означає, що паралелепіпед вироджується в плоску фігуру, тобто має нульовий об’єм.

Вираз мішаного добутку через координати співмножників.

Нехай , і .

Враховуючи вираз векторного добутку (2.23):

і формулу (2.16) для скалярного добутку, одержимо

.

Розглядаючи цей вираз як розкладання визначника третього порядку за елементами третього рядка, дістанемо остаточно

. (2.24)

Зокрема має місце

Теорема (ознака компланарності трьох векторів).

Вектори , і компланарні тоді і лише тоді, коли

. (2.25)

Це твердження випливає з властивості 2) мішаного добутку і формули (2.24).

Приклад 1. Обчислити об’єм тетраедра (трикутної піраміди) з вершинами , , , .

Даний тетраедр побудований на векторах , , як на ребрах. Його об’єм дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах (див. рис. 2.15). Таким чином об’єм тетраедра дорівнює

Рис. 2. 15 .

За формулою (2.7) знаходимо: , , . За формулою (2.24)

.

Таким чином

(од. об’єму).

Приклад 2. З’ясувати, чи лежать точки , , , в одній площині.

Очевидно точки A, B, C i D лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли вектори , і компланарні. Знаходимо координати цих векторів:

, , .

Скористаємося ознакою компланарності (2.25)

.

Отже вектори , і компланарні, а точки A, B, C i D лежать в одній площині.

*⁾ Гаусс Карл (1777-1855) – видатний німецький математик.

49