2.6. Геометричні застосування скалярного добутку

1. Модуль вектора і відстань між двома точками. Якщо , то згідно з формулою (2.13) , звідки

. (2.17)

Якщо задані декартові координати точок М₁ і М₂, то =, отже відстань між цими точками дорівнює

. (2.18)

2. Ознака перпендикулярності (ортогональності) векторів. Вектор і вектор перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли (формула 2.12), тобто

= 0 (2.19)

3. Кут між векторами і визначається рівністю (з формули (2.10)):

. (2.20)

4. Проекція вектора на вектор визначається рівністю (формула (2.11)):

.

5. Напрямні косинуси вектора.

Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів, утворених вектором з координатними осями, тобто з базисними векторами.

Якщо , то згідно з формулою (2.20)

=;

=; (2.21)

=.

Приклад 1. Знайти орт вектора = ( 4; 7; -4).

За означенням орта вектора (див. п. 2.1) , отже обчислимо довжину вектора :

= (формула (2.17)). Далі, ( 4; 7; -4) = (формула (2.5)).

Відповідь: орт вектора має координати .

Приклад 2. При яких значеннях числа α вектори = ( α, 3α, 1) та = ( α, 1, -10) ортогональні?

За ознакою ортогональності векторів

α·α + 3α·1 + 1·(-10) = 0 (формула (2.19)).

Отже α² + 3α – 10 = 0. З цього рівняння знаходимо: α₁ = 2; α₂ = -5.

Приклад 3. Знайти внутрішній кут при вершині А трикутника АВС, де , і .

Внутрішній кут при вершині А – це кут між векторами і . За формулою (2.20)

.

Отже, .

2.7. Векторний добуток векторів

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , який визначається такими трьома умовами:

а) і ;

б) вектори , і утворюють праву трійку векторів (див. п. 2.3);

в) довжина вектора обчислюється за формулою

.

Векторний добуток вектора на вектор позначається або .

Геометричний зміст векторного добутку. Довжина векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і ,

в іднесених до спільного початку (рис. 2.11).

Рис. 2. 11

Перелічимо основні властивості векторного добутку.

1) Векторний добуток дорівнює нуль-вектору тоді і тільки тоді, коли співмножники колінеарні: рівносильне , тому що в цьому випадку . Зокрема .

2) Векторний добуток антикомутативний:

.

Справді, при зміні порядку співмножників паралелограм не зміниться, отже , але напрям протилежний напряму , бо як вектори , , так і вектори , , утворюють праві трійки. Це означає, що дивлячись з кінця вектора , ми бачимо найкоротший поворот від до проти годинникової стрілки, а дивлячись з кінця вектора , бачимо проти годинникової стрілки найкоротший поворот від до .

3) Асоціативність відносно скалярного множника:

= = .

Дійсно, наприклад, і , крім того і колінеарні, бо кожен з них перпендикулярний до вектора і до вектора . Напрям у них однаковий, що при є очевидним; при вектори і мають протилежні напрями, тому вектор напрямлений протилежно вектору , але при цьому вектор також напрямлений протилежно вектору , значить і при буде , тому і в цьому разі = .

4) Дистрибутивність відносно додавання:

Обґрунтування цієї властивості розглянемо пізніше (за допомогою формули (2.23)).

Зауваження. Сформульовані властивості дозволяють при векторному множенні векторних многочленів виконувати дії почленно (розкривати дужки) і об’єднувати числові коефіцієнти векторних співмножників. Але слід пам’ятати, що порядок співмножників векторного добутку є істотним, і при перестановці співмножників знак векторного добутку змінюється на протилежний.

Приклад.

=.

Тут враховано, що ==.

Вираз векторного добутку через координати співмножників.

Розглянемо спочатку векторні добутки базисних векторів (рис. 2.12). Згідно з означенням маємо:

= , = , = ,

Рис. 2. 12 крім того ===.

Нехай тепер і . Тоді

== + +

=. (2.22)

Цю формулу можна подати в зручному для запам’ятання вигляді, якщо зауважимо, що

; ; .

Тепер праву частину формули (2.22) можна розглядати як розкладання за елементами першого рядка символічного визначника

, (2.23)

у першому рядку якого – базисні вектори, а в другому і третьому відповідно – координати першого і другого співмножників.

Тепер властивість 4) випливає з формули (2.23) та властивості визначників 6).

Приклад. Дано три вершини паралелограма : , , . Знайти його площу (рис. 2.13).

Рис. 2. 13

Д аний паралелограм побудований на векторах і , отже за геометричним змістом векторного добутку його площа дорівнює . Знаходимо , .

За формулою (2.23)

.

.

Аналогічно обчислюється площа трикутника АВС, заданого координатами своїх вершин, бо

.