Розділ 2. Вектори

2.1. Поняття вектора. Лінійні дії над векторами

В математиці, фізиці, інших науках розглядаються величини двох видів: скалярні і векторні.

Скалярною величиною або скаляром називається величина, яка повністю характеризується своїм числовим значенням у обраній системі одиниць (наприклад, температура, робота, густина, тощо).

Векторною величиною називається величина, яка крім числового значення визначається ще й своїм напрямом у просторі (наприклад, швидкість, сила і т.п.).

Векторну величину можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком, який називають вектором; довжина його дорівнює числовому значенню векторної величини (у обраному масштабі), а напрям такий, як у цієї величини. Вектори позначають малими латинськими буквами з рискою або стрілочкою над ними, або ж надрукованими напівжирним шрифтом (,,q). Вектор може визначатися своєю початковою і кінцевою точками; вектор, початком якого є точка А, а кінцем точка В, позначається .

Числове значення вектора, тобто довжина відповідного напрямленого відрізка, називається довжиною або модулем вектора і позначається або а (без риски), або АВ.

Вектор нульової довжини називається нульовим вектором і позначається .

Вектори, паралельні одній прямій, називаються колінеарними; паралельні одній площині – компланарними.

Вектори рівні, якщо вони мають однакові напрями і рівні модулі, отже можуть бути одержані один з одного паралельним перенесенням, а положення їх точки прикладання (початку) не відіграє ролі. Вектори за останньою умовою називають вільними. Далі розглядаються тільки вільні вектори.

Два вектори протилежні один одному, якщо вони мають рівні модулі і протилежні напрями. Вектор, протилежний вектору , позначається –, протилежний вектору позначається = –.

Лінійні дії над векторами

Лінійними діями над векторами називаються додавання (і пов’язане з ним віднімання) векторів і множення вектора на число (скаляр).

Сумою векторів і є вектор, який іде з початку вектора в кінець вектора при умові, що вектор відкладений від кінця вектора (рис 2.1). Це так зване „правило трикутника”.

Іншим способом побудови суми двох векторів є так зване „правило паралелограма”: якщо вектори і відкладені від спільного початку О

Рис. 2. 1 Рис. 2. 2

(рис. 2.2) і на них побудовано паралелограм, то сума + є вектор , який виходить з того ж початку і суміщається з діагоналлю паралелограма. Зауважимо, що обидва правила дають один і той же результат. Справді, на рис. 2.2 маємо = , = , отже = + = + за „правилом трикутника”, так само, як і за „правилом паралелограма”.

„Правило трикутника” легко узагальнюється на випадок суми трьох або більше векторів: від кінця першого вектора відкладаємо другий, від кінця другого – третій і т.д. Сумою всіх цих векторів є вектор, який іде з початку першого вектора в кінець останнього (рис. 2.3). Це так зване „правило многокутника”.

Рис. 2. 3

Дія додавання векторів:

1. комутативна, тобто + = + (див. рис. 2.2);

2. асоціативна, тобто ( + ) + = + ( + ) (див. рис. 2.3), як і додавання чисел.

Різницею векторів – є сума вектора і вектора, протилежного вектору , тобто

– = +(–).

На рис. 2.2 різниця – зображується другою діагоналлю паралелограма ОАВС. Справді + = , тобто + = , звідки = – .

Множення вектора на число. Добутком вектора на число λ називається вектор, який позначається або і визначається такими умовами:

1) =;

2)

Інакше кажучи: якщо λ > 0, то – це вектор, який одержуємо із розтягом в λ разів без зміни напряму; якщо λ < 0, то потрібно розтягнути в |λ| разів і, крім того, змінити напрям на протилежний.

Добуток вектора на число має такі властивості:

1) λ(μ)= (λμ) – асоціативність відносно числових множників;

2) (λ + μ)= λ + μ – дистрибутивність відносно числового множника;

3) λ()=λ + λ– дистрибутивність відносно векторного множника;

4) = для будь-якого числа λ;

5) = для будь-якого вектора ;

6) = ; = – для будь-якого вектора .

Зазначимо, що будь-який вектор можна подати у вигляді , де – орт вектора , тобто вектор одиничної довжини, напрям якого збігається з напрямом вектора .

Сформульовані властивості лінійних дій над векторами цілком аналогічні властивостям відповідних дій над числами, отже дозволяють при лінійних діях з векторами виконувати різні перетворення (розкриття дужок, винесення спільних множників, приведення подібних членів, тощо) так само, як із числами.