Косвенные измерения
При косвенном измерении искомая величина является известной функцией
(1.16)
переменных x, y, …, z, получаемых экспериментально с помощью прямых измерений. Но прямые измерения не позволяют точно определять математические ожидания измеряемых величин. С некоторой вероятностью Р математические ожидания принадлежат доверительным интервалам: <x> x; <y> y; …; <z> z. В формулу (1.16) подставляют средние значения доверительных интервалов, т.е. результат косвенного измерения вычисляют по формуле:
. (1.17)
Используя в качестве переменной х результат измерения <x>, совершают перенос ошибки, максимальное значение которой равно полуширине доверительного интервала х. Это вызывает изменение на величину , определяемую формулой
,
если х - малая величина в сравнении с х.
В случае нескольких независимых переменных х, у, …, z результат вычисления по формуле (1.17) приводит к максимальной ошибке
, (1.18)
которую можно считать полушириной доверительного интервала величины . Формулы (1.17) и (1.18) определяют результат косвенного измерения: <> .
Совместные измерения. Метод наименьших квадратов
Пусть переменная
величина у, являющаяся функцией переменой
величины х, измеряется при n
различных значениях х, т.е. получают n
экспериментальных точек: (х1, у1);
(х2, у2); …(хn,
уn). Будем считать,
что зависимость у от х является функцией
,
вид которой зависит от параметров 1,
2, …, m.
Величину этих параметров находят из
условия минимума суммы квадратов:
.
Отсюда и название рассматриваемого метода. Из условия минимума S следует система уравнений
(i=1,
2, …, m) ,
(1.19)
решая
которую находят значения параметров
.
Будем считать, что
зависимость между х и у является линейной:
.
Тогда 
. (1.20)
Подставляя сумму
квадратов S, определяемую
формулой (1.20) в уравнения (1.19) и решая
их, найдем такие значения А и В параметров
и
,
при которых сумма (1.20) минимальна, т.е.
минимальна сумма квадратов отклонений
экспериментальных точек (
)
от прямой линии
.
Получим формулы:
;
;
(1.21)
;
;
,
где
скобки
означают среднее арифметическое величины
х по всем n экспериментальным
точкам (см. формулу 1.1). В формулах S(B)
и S(A) - это
выборочные оценки среднеквадратичных
отклонений величин В и А. Отсюда полуширина
доверительного интервала для вероятности
Р выражается с помощью коэффициента
Стьюдента:
,
где
число степеней свободы
(n - число экспериментальных
точек).
Если значения
большие, то вычисления по формулам
(1.21) требуют высокой точности. Для
уменьшения ошибок вычислений можно
начало координат по оси Х перенести в
точку
.