8. Типы математических моделей геометрических объектов.

Автоматизация геометрического проектирования используется для предоставления объекта любой сложности. Существуют следующие типы математических моделей геометрических объектов:

1. Структурные мат. модели– модели представляются графами, вершины отражают элементы объекта(отдельные геометрические фигуры, точки), дуги отражают связь м/д элементами объекта.

2. Рецепторные мат. модели– это когда геометрический объект отражается в пространстве рецепторов.

Рецептор – при сечении пространства плоскостями перпендикулярными плоскостями координат, образуются пространственная сетка, каждый элемент которого является рецептором. Рецептору могут присваиваться два значения(1 –если рецептор содержит элементы объекта, 0 – если не содержит).

Рецепторная модель для двумерного модуля.

На основании результатов пересечения стоится рецепторная модель в виде матриц, затем определяются координаты каждого дискретна (рецептора) и составляется матрица координат с которой производятся все дальнейшие преобразования.

3. Аналитическая мат. модель– наиболее компактная модель, которая задается в виде уравнений и неравенств. Уравнения моделей записываются в явном виде и в неявном виде.

4. Аналитическо-логические мат. модели – части объекта отображаются аналитическими выражениями, м/д собой составные части соединяются с помощью логических функций: пересечение(и); объединение (или); вычитание (не).

Пример1

f₁:x₂+y₂=1

f₂:y≥ 0.5

f₃:f₁∩f₂

№9 автоматизация изготовления шаблонов для ПП.

Формируются задачи:

1. контроль топологии и чертежей шаблонов:

а) контроль искажения контура;

б) учёт конструкторсо-технологических ограничений;

в) контроль на соответствие эл.принципиальной схеме.

2.создание чертежей отдельных слоёв. Используется генератор изображения.

2. генерация программ для станков с ЧПУ и другого оборудования.

Фотошаблоны создают с помощью векторного представления. Используются открывающие, когда у₂>y₁и закрывающие у₂<y₁вектора. Способ используется для изображения прямоугольников со сторонами параллельными осям координат.

Обход сечений ведётся слева на право. Список векторов является входной информацией для генерации программы.

Для создания фотошаблонов областей произвольных форм используются алгоритмы покрытия прямоугольниками.

Алгоритм 1.

1.разбиение на трапеции

2.выделение прямоугольных областей

3. покрытие оставшихся областей прямоугольниками с большими сторонами параллельным наклонным сторонам.

Алгоритм 2.

1.выделение максимальных областей прямоугольных форм.

2.покрытие оставшихся областей прямоугольниками минимальной площади.

3.как в алгоритме 1.

№10 Элементарные геометрические преобразования. Матрицы преобразования 2-х и 3-х мерного изображения.

1. геометрический преобразователь

можно привести несколько геометрических преобразований

2. Растяжение или сжатие по осям.

где а и в – коэффициенты искажения по осям.

3. отображение относительно осей.

Для отображения относительно оси Х выполняется следующее: х^*=х, у^*=у.

Для отображения относительно оси У выполняется следующее: х^*=-х, у^*=у.

4. смещение на заданный вектор.

гдеn,m– элементы вектора.

Матрицы преобразования.

Все геометрические преобразования производятся с помощью матриц преобразования путём умножения её на матрицу координат.

Матрица преобразований в общем виде:

где a,b,c,d– отвечают за изображение растяжения по осям и поворот.

e,f– отвечают за проецирование;

m,n– за перенос изображения или сдвиг;

S– масштабирование. ПриS<1 изображение уменьшается, приS>1- увеличивается.

Для проведения операций с матрицами используются однородные координаты, где каждой точке плоскости устанавливается в соответствие точка в пространстве и добавляется координата равная 1, которая при построении игнорируется.

Для каждого преобразования существует своя матрица преобразования.

Сложные преобразования.

Существуют 2 способа реализации преобразований:

1. происходят последовательные перемножения матрицы координат на матрицы преобразований.

2. Метод конкандинации.

Сначала перемножаются матрицы преобразований м/у собой, затем матрицы координат на итоговую матрицу преобразования.

Для 3-х мерных преобразований матрица преобразований имеет вид:

где Р1- матрица размерностью (3*3) – отвечает за поворот изображения, масштабирование по осям.

Р2 – (3* ) – отвечает за проецирование,

Р3 – (1*3) – смещение изображения,

Р4 – 1=S– масштабирование.