Вычеты функции.

Вычетом функции f(z) в конечной изолированной особой точке z = a называется коэффициент а_-1 при ¹/_{(z – a)} в разложении f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z = a.

Используя формулу коэффициентов ряда Лорана, получим

Здесь (С) – окружность |z – a| = r, принадлежащая кольцу сходимости.

Отсюда, если z = a – правильная или устранимая особая точка, то Res f(a) = 0, т.к. в разложении f(z) отсутствует главная часть.

Вычет функции в конечном полюсе.

Пусть z = a – полюс m-го порядка.

П р и м е р . Найти вычеты функции f(z) во всех конечных особых точках.

Особые точки z = 0 и z =

Теорема Коши о вычетах.

Вычеты имеют важное применение при вычислении интегралов по замкнутому контуру.

Пусть функция f(z) аналитична всюду на

замкнутом контуре (L) и всюду внутри контура

a₁ z = a₁ (L) за исключением конечного числа точек

a₁, a₂,…,a_n, расположенных внутри контура (L).

Тогда

z = a₂

z = a_n

Доказательство.

Вокруг каждой из точек a_k окружность (С_k) так, чтобы эти окружности не пересекали друг друга и не выходили за (L). Тогда по теореме Коши интеграл по внешнему контуру (L) будет равен сумме интегралов по внутренним контурам (C_k).

П р и м е р 1 .

y

(L) – окружность |z – 2| = 3. Внутрь контура попали две

x

-2 особые точки z = 0 и z = 2.

z = 2

z = 0

П р и м е р 2 .( см. предыдущую стр.).

z = i

(С) |z - 2| = 3

z =0

z =-i