Формула Коши.

Пусть функция аналитическая в замкнутой области , (L) – граница этой области, тогда для всех точек z = a, расположенных внутри этой области, имеет место равенство

Следствие. z = a

П р и м е р .

1. |z|=1/2

z = -i

|z|=2

2. z=-i

3. 

|z|=i

|z|=1/2 2

4. y |z-2|=3/2

0 x

z=2

Степенные ряды.

a₀, a₁, …,a_n, … - комплексные постоянные, z = x + iy – комплексная переменная.

.

Можно показать, что областью сходимости степенного ряда является круг |z – a| < R. Внутри этого круга ряд сходится. Вне его, т.е. при |z – a| > R, расходится, a на границе |z – a| = R ряд может сходиться, а может расходиться. R – радиус сходимости ряда.

П р и м е р .

Пусть z – фиксированное число. Составим ряд модулей.

Вне этого круга ряд расходится. В точках окружности |z| = ряд может сходиться, а может расходиться.

Теорема.

Сумма степенного ряда является аналитической функцией в круге сходимости.

Рассмотрим функцию f(z). Составим ряд

Ряд (**) – ряд Тейлора для функции f(z).

Известны следующие разложения в ряд Тейлора.

Можно показать, что радиус сходимости равен R = ∞.

Ряд Лорана.

В комплексном анализе имеют дело не только со степенными рядами, но и с двусторонними рядами

Ряд сходится при |t| < R₂′

|z – a| > R₂, R₂ = 1/R₂′ . Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце

R₂ < |z – a| < R₁

R₁ Теорема.

z = a Сумма ряда Лорана является аналитической

(С) функцией в кольце сходимости R₂ < |z – a| < R₁.

R₂

Найдем коэффициенты ряда Лорана. Рассмотрим

(все слагаемые в правой части обратились в нуль, кроме одного, когда k + 1 – n = 1, т.е. n = k).

Отсюда

Особые точки.

Особыми точками функции f(z) называются точки, в которых нарушается аналитичность функции.

Особая точка z = a называется изолированной, если существует такая окрестность этой точки, в которой она является единственной особой точкой.

Например, f(z) = ¹_/(z-1) , z = 1 – изолированная особая точка.

Если точка z = a является изолированной особой точкой, то существует достаточно малое кольцо R₂ < |z – a| < R₁, в котором функция f(z) аналитическая и разлагается в ряд Лорана.

(*)

При этом могут представиться три случая.

1. Разложение (*) не содержит главной части.

Особая точка z = a называется устранимой особой точкой.

П р и м е р. Показать, что z = 0 – устранимая особая точка функции

В полученном разложении отсутствует главная часть, поэтому точка z = 0 – устранимая особая точка. Если принять, что f(0) = 1, то функция станет аналитической.

2. Разложение содержит конечное число слагаемых в главной части.

Если то точка z = a называется полюсом m-го порядка. Если m = 1, то полюс называется простым.

П р и м е р .

. Точки z = 1 и z = i являются особыми точками.

z = 1 – простой полюс, т.к.

z = i – полюс второго порядка. т.к.

3. Разложение в ряд Лорана содержит в главной части бесконечное множество членов. Точка z = a называется существенно особой точкой. В существенно особой точке функция f(z) – неопределенна.