Предел, непрерывность.

Число w₀ = u₀ + i v₀ называется пределом функции f(z), если f(z) = u(x, y) + i v(x,y) и

Функция f(z) называется непрерывной в точке z = z₀, если

Производная и дифференциал.

Рассмотрим функцию w = f(z). Тогда ∆w = f(z + ∆z) – f(z) и

(*) - производная от функции w = f(z).

Предел (*) не зависит от способа стремления ∆z → 0. Если производная существует, то функция называется дифференцируемой в точке z = z₀.

Условия Коши-Римана.

Для того чтобы функция w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была дифференцируемой в точке z = x + i y необходимо и достаточно, чтобы функции u(x,y) и v(x,y) имели непрерывные частные производные и

Из определения предела и производной следует, что основные правила дифференцирования сохраняются для функции комплексного переменного.

(Правила дифференцирования суммы, произведения, частного, сложной функции, z′ = 1).

Определение.

Функция, непрерывная в области (D) и имеющая в каждой точке конечную производную, называется аналитической в этой области.

Требование аналитичности означает не только то, что она не должна иметь точек разрыва, но и то, что при вычислении значений f(z) действия над z должны производиться как над единым комплексным агрегатом без расчленения его на действительную и мнимую части.

Н а п р и м е р , w = z² является аналитической, хотя ее можно представить как

w = x² – y² + 2 i xy , полагая z = x + i y.

В отличие от этого, такие функции как w₁ = x² – i y² или w₂ = = x – i y не являются аналитическими, хотя они являются функциями z (если z = x + i y, то, зная z, можно найти x = Re z , y = Im z и найти соответствующее значение w). Эти функции нельзя свернуть в аналитические выражения относительно z вида w₁(z) и w₂(z).

Функция w = ¹/_z не является аналитической на всей плоскости (z). Эта функция является аналитической в области, полученной путем выбрасывания точки z = 0.

Докажем, что функция w₁ = x² – i y² не является аналитической.

Условия Коши-Римана:

Выражение f′(z) ∆z = dw – дифференциал функции. dz = ∆z и f′(z) dz = dw.

Связь аналитических и гармонических функций.

Рассмотрим аналитическую функцию f(z) = u(x,y) + i v(x,y). Тогда

Следовательно, u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению с частными производными.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.

Но функции u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют еще условиям Коши – Римана.

Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, называются сопряженными гармоническими функциями.

Действительная и мнимая части аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями.

Для любой заданной гармонической функции можно построить сопряженную гармоническую функцию. Пусть u(x,y) – гармоническая функция. Тогда

Получилась задача о построении функции по полному дифференциалу.

П р и м е р .Дана мнимая часть v(x,y) = x² – y² + 2x аналитической функции f(z). Найти эту функцию.

Проверим, удовлетворяет ли функция v(x,y) уравнению Лапласа.