Пример 2.15

Граф, являющийся деревом, – двудольный граф.

Дерево не имеет циклов, следовательно, не имеет и циклов нечетной длины.

Утверждение 2.13. Пусть K_n  – n-вершинный полный граф. Тогда хроматическое число: (K_n) = n.

Доказательство проведем индукцией по числу n вершин графа.

Пусть n = 3;   K₃ представляет собой простой цикл длины 3, то есть (K₃) = 3.

Пусть утверждение верно для полного графа с числом вершин меньшим n.

Покажем, что  (K_n) = n. Пусть v  K_n. Пусть K_n – дополнение звездного графа S(v) вершины v. Так как K_n = K_n-1, то он раскрашиваем в n-1 цвет. Следовательно,  вершина v должна быть окрашена в цвет, отличный от цветов окраски смежных ей вершин графа K_n, то есть  (K_n) = n.

Верхняя и нижняя оценка хроматического числа

Теорема 2.17 (верхняя оценка). Если максимальная степень вершин графа G равна , то хроматическое число: (G)   +1.

Доказательство проведем индукцией по числу n вершин графа G.

Если число вершин графа: n   +1, то раскраска в  +1 цветов тривиальна.

Пусть теорема верна для графов с числом вершин, большим, чем  +1, но меньшим чем n.

Покажем, что если граф G имеет n вершин, то хроматическое число  (G)   +1. Пусть v – произвольная вершина графа G, а S(v) – ее звездный граф. Тогда G(v) – дополнение S(v) до G имеет число вершин меньшее n, поэтому не более чем  + 1-раскрашиваем. В графе G вершина v имеет не более  (наибольшая степень) смежных вершин, окрашенных в  цветов. Вершине v припишем один из оставшихся цветов. Тогда граф G является  +1-раскрашиваем. Следовательно, его хроматическое число:  (G)   +1.

Подмножество B вершин графа G = (V, E) внутренне устойчиво, если никакие две вершины из B не являются смежными в G.

Внутренне устойчивое множество B называется максимальным (тупиковым), если не существует  H  V такого, что B  H и H – внутренне устойчиво. При этом B называется наибольшим, если среди всех внутренне устойчивых множеств вершин в G оно имеет наибольшую мощность |B|.

Число  называется числом внутренней устойчивости графа G.

Теорема 2.18 (нижняя оценка). Пусть G = (V, E) есть связный (n, m) граф. Пусть (G) – число внутренней устойчивости графа G. Тогда хроматическое число (G) удовлетворяет неравенству:

.

Доказательство. Граф G (G)-раскрашиваем. Тогда имеет место разбиение:  {V₁, V₂, …, V_(G)} множества V, в котором вершины каждого множества V_i раскрашены в i-й цвет. Вершины множества V_i внутренне устойчивы, так как попарно не смежны. Поэтому |V_i|  (G), i = 1, 2, …, (G).            Имеем: 

;

отсюда хроматическое число:   .

Таким образом, из теорем о нижней и верхней оценках (2.18, 2.17) хроматического числа связного графа G, имеем:

.

Множество H вершин графа G = (V, E) называется внешне устойчивым в G, если для любой вершины v  H найдется вершина u  H, такая, что им инцидентное ребро e  E.

Внешне устойчивое множество вершин H называется минимальным (тупиковым), если не существует внешне устойчивого множества B  H.

Внешне устойчивое множество вершин называется наименьшим, если среди всех внешне устойчивых множеств вершин в G оно имеет наименьшую мощность.

Число  называется числом внешней устойчивости графа G.

С понятием внешней устойчивости множеств связана практическая задача. Пусть имеем карту городов с дорогами между ними. Необходимо построить наименьшее число складов с не более чем одним складом в каждом городе так, чтобы от каждого города вела прямая дорога к одному из складов.

Задача решается отысканием наименьшего внешне устойчивого множества вершин графа городов с дорогами между ними.

 

Раскрашивание планарных графов

Теорема 2.19 (о пяти красках). Всякий связный планарный граф G раскрашиваем не более чем 5 красками.

Доказательство проведем индукцией по числу вершин n графа G.

Для графа с числом вершин k  5 теорема очевидна, так как всякий  5-вершинный граф 5-раскрашиваем.

Допустим, что всякий связный планарный граф с числом  вершин  k < n 5-расрашиваем.

Покажем, что всякий связный планарный граф с n вершинами 5-раскрашиваем. Так как граф G связный и планарный, то он имеет вершину v степени   5. Рассмотрим граф G(v) – дополнение звездного графа S(v) до G. Этот граф имеет n – 1 вершину и, следовательно, по индуктивному предположению каждая его компонента связности 5-окрашиваемая. Возможны следующие случаи:

1.      Степень вершины v (v) = 4. Смежные с v вершины звездного графа S(v) получат в G(v) не более 4 красок. Вершину v в графе G окрасим в любую из оставшихся красок.

2.      Степень вершины v (v) = 5. Если смежные с v вершины окрашены в совокупности в   4 красок, то вершину окрашиваем в оставшийся цвет. Остался худший вариант. Пусть все пять красок использованы для окрашивания в графе G(v) вершин v₁, _v2, v₃, v₄, v₅, смежных v  в графе G. Рассмотрим подграф H графа G с множеством вершин {v₁, v₂, v₃, v₄, v₅} и инцидентными им ребрами. Граф H планарный, следовательно, он не граф K₅, тогда обязательно найдется в графе H хотя бы одна пара не смежных вершин. Пусть для определенности это будут вершины v₁ и v₂. Склеим вершины v₁, v₂ с вершиной v в графе G. Полученный связный планарный граф по предположению индукции 5-раскрашиваем. При этом четыре вершины v, v₃, v₄, v₅ получат  = 4 цвета. Раскрасим вершины v₁ и v₂ в цвет, полученный вершиной v, а вершину v окрасим в оставшийся пятый цвет.

Замечание. Проблема четырех красок: Любой плоский граф 4-раскрашиваем.

3. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ И СЕТИ, ВВедение в алгоритмы

 

3.1. Ориентированные графы

             Матрица смежности, свойства

             Пути в ориентированных графах

             Связность в ориентированном графе

             Ориентированное дерево

             Бинарное ориентированное дерево

 

Матрица смежности, свойства

Понятие ориентированного графа D = (V, X),  как и другие понятия рассмотрены в разд. 2. Здесь мы напомним определение матрицы смежности и рассмотрим ее свойства. 

Матрицей смежности ориентированного графа D = (V, X), где V = {v₁ , v₂ ,…,v_n} называется квадратная матрица  A(D) = {a_ij} порядка n, элементы которой определяются по формулам:

.

Иначе говоря, здесь число k  определяет кратность дуги, соединяющей соответствующие вершины. Если кратные дуги отсутствуют, то k = 1 или  k = 0.

Матрица смежности ориентированного графа в общем случае несимметрична. Ориентированный граф с симметричной матрицей смежности канонически соответствует неориентированному графу, имеющему ту же матрицу смежности (см. разд. 2.1).

Сумма элементов i-й строки матрицы смежности ориентированного графа равна ⁺(v_i), а соответственно сумма элементов i-го столбца матрицы смежности этого графа равна ^–(v_i).

Понятие ориентированных подграфов, порожденных подмножествами вершин W  V  и дуг F  X даны в разд. 2.1. 

Утверждение 3.1. Пусть D = (V, X) – некоторый ориентированный граф, H = (W, F) его подграф (W  ), порожденный множеством W. Тогда A(H) является подматрицей матрицы A(D), элементы которой находятся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из W.

(Без доказательства).

Пути в ориентированном графе

Понятие пути в ортонормированном графе определяется аналогично понятию маршрута в неориентированном графе, при этом цикл в орграфе называется контуром, а простой цикл соответственно – простым контуром. Понятия длины маршрута и пути аналогичны. Отметим, что каждая дуга пути обходится в прямом направлении, то есть от начала дуги к ее концу. Справедливы также утверждения о выделении из пути и замкнутого пути, ориентированного графа, соответственно цепи и контура, а также – простой цепи и простого контура.

Пусть A^k(D) = {} – k-я степень матрицы смежности A(D) ориентированного графа D. 

Утверждение 3.2. Элемент  матрицы A^k(D) ориентированного графа D = (V, E), где V = {v₁ , v₂ , …, v_n}, равен числу всех  путей длины k из вершины v_i в вершину v_j.

Доказательство проведем индукцией по длине пути k.

Для k = 1 справедливость утверждения следует из определения матрицы A(D), так как A¹(D) = A(D).

Пусть утверждение справедливо, когда длина пути меньше или равна  k – 1.

Покажем, что утверждение также справедливо, когда длина пути равна k. Рассмотрим множество П_ij всех путей длины k из вершины v_i в вершину v_j. Каждый такой путь представим в виде композиции путей, то есть

,

где l = 1, 2, …, n. (Заметим, что операция композиции путей в ориентированных графах определяется аналогично композиции маршрутов в неориентированных графах). Согласно индуктивному предположению, количество путей   определяется числом , а количество путей (v_l, v_j) – числом a_lj. Тогда, по правилу произведений, количество путей длины k  для каждого l будет равно произведению: a_lj, где l = 1, 2, …, n.  Отсюда, общее количество путей длины k будет равно: , что соответствует элементуматрицы A^k(D).

В качестве следствия из утверждения 3.2. приведем утверждение о существовании контуров в ориентированном графе.

Утверждение 3.3. Для того чтобы n-вершинный ориентированный граф D с матрицей смежности A = A(D) имел хотя бы один контур, необходимо и достаточно, чтобы матрица K = A + A² + …+ Aⁿ имела ненулевые диагональные элементы.

Доказательство

Достаточность.  Пусть K ={k_ij},  и для некоторого i  выполняется условие: k_ii > 0. Так как k_ii есть сумма положительных или равных нулю чисел (элементов матриц степеней A), то для некоторого s = 1, 2, …, n справедливо неравенство:  > 0, следовательно,  согласно утверждению 3.2 в D найдется хотя бы один путь из вершины v_i в вершину v_i, точнее замкнутый путь, то есть контур.

Необходимость. Пусть в ориентированном графе D имеется некоторый контур. Так как из всякого контура может быть выделен простой контур длины 1  s  n, то для i, для которого вершина v_i принадлежит указанному контуру, согласно утверждению

.2 выполняется неравенство:  > 0. Тогда матрица K имеет ненулевой диагональный элемент.

Замечание. Если ориентированный граф D не имеет петель, то матрица K, используемая в утверждении равна A² + …+ Aⁿ .

Связность в ориентированном графе

Говорят, что вершина w ориентированного графа D достижима из вершины v, если либо w = v, либо существует путь из вершины v в w.

Ориентированный граф называется сильно связным, если для любых двух его вершин  v, w существует путь из v в w.

Ориентированный граф называется односторонне связным, если для любых двух его вершин, по крайней мере, одна достижима из другой.

Ориентированный граф называется слабо связным, если связным является ассоциированный с ним неориентированный граф.  

Ориентированный граф  называется несвязным, если он  не является слабо связным.

Напомним (см. раздел 2.1.), простой граф G = (V, E)   ассоциирован с ориентированным графом D = (V, X), если множество ребер E получено из X заменой всех упорядоченных пар (дуг) v ≠ w  (v, w) или (v, w)   на неупорядоченную пару (ребро) {v, w}.

Пусть = {<v_i , v_j>| v_i , v_j D и вершина v_j достижима из вершины v_i} – отношение односторонней связности в ориентированном графе D. Пусть ^-1 – отношение, обратное к отношению , тогда C _с =   ^-1 – отношение сильной (двусторонней) связности. Нетрудно показать, что C _с – отношение эквивалентности на множестве вершин V ориентированного графа D, которое разбивает его на классы эквивалентности V₁ , V₂ , …, V_p , каждый из которых, например V_i , порождает часть ориентированного графа, являющуюся компонентой сильной связности: D_i = (V_i , X_i). Заметим, что , так как дуги, принадлежащие отношению  + ^-1, будут утеряны. Иначе говоря, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 3.4. Пусть D = (V, X) – ориентированный граф с p компонентами сильной связности: D_i = (V_i, X_i), i  = 1, 2, …, p. Тогда

1) V = V₁  V₂ … V_p ,  X₁  X₂   …  X_p  X;

2) V_i   V_j  =  ,  X_i  X_j =   при  i   j;

3) n(D₁) + n(D₂) +…+ n(D_p) = n(D); m(D₁) + m(D₂) +…+ m(D_p)     M(D).

Доказательством утверждения 3.4 можно считать рассуждения, предшествующие его формулировке.

Пусть D = (V, X), где V = {v₁ , v₂ , …, v_n} – ориентированный граф.

Матрицей достижимости ориентированного графа D называется квадратная матрица T(D) = {t_ij} порядка n, у которой

Матрицей сильной связности ориентированного графа D называется квадратная матрица C(D) = {c_ij} порядка n, у которой

Ориентированное дерево

Конечным ориентированным деревом (ордеревом) называется ориентированный граф T(V, X), обладающий следующими свойствами:

        существует одна и только одна вершина s  V, называемая корнем ордерева, такая, что ее полустепень захода равна: ^–(s) = 0;

        существуют вершины v  V,  называемые листьями дерева T, полустепень исхода которых равна: ⁺(v) = 0;

        для любой вершины v  V\{s} полустепень захода равна: ^– (s) = 1;

        любая вершина v  V ордерева T достижима из корня s.

Ордерево T с корнем s обозначают через (T, s).