Пример 2.9

1. Задача о различных представителях множеств. Пусть задано множество U  и W = {U₁, U₂, …, U_k} – некоторое семейство его подмножеств.  Требуется в наибольшем числе множеств этого семейства выбрать u_i  U_i так, чтобы попарно различным множествам семейства W соответствовали бы попарно различные представители этих множеств. Эта задача решается на двудольном графе G = (V₁ , V₂ , E), где V₁ = U, V₂ = W, E – отношение принадлежности элемента из U множеству из W.

2. Задача о взаимно однозначных соответствиях.   Пусть заданы произвольные множества V₁ , V₂  и отношение    V₁  V₂ . Требуется найти однозначные соответствия    .

Эти и некоторые другие задачи дискретной математики являются представителями задач отыскания  наибольших паросочетаний в двудольных графах.

Наибольшее паросочетание в двудольном графе

Пусть X произвольное подмножество множества V некоторого графа, т.е.    X  V. Обозначим через  (X) множество всех вершин, смежных  вершинам из X, то есть множество (X) = {y | для всех x  X, y  (x)}.

Пусть теперь  G = (V₁, V₂, E) – двудольный граф. Тогда, если X    V₁, то (X)    V₂ и, если X    V₂,  то (X)    V₁.

Пример 2.10

На рис. 2.18 приведен двудольный граф, показано множество вершин X и соответствующее ему множество (X) смежных с ними вершин.

 

 

Рис.2.18. Множества смежных вершин

 

Теорема 2.12. Если G = (V₁, V₂, E) – двудольный граф, то (G) = |V₁| – , где максимум берется по всем подмножествам X  V₁, включая – пустое; |V₁|, |X|, |(X)| – количество вершин в соответствующих  множествах.

Доказательство. Пусть (X₁, X₂, R) – часть графа G такая, что X₁  V₁, X₂  V₂,   R  E, образованная каким-либо наибольшим паросочетанием R  (| R | = (G)) и всеми вершинами, инцидентными его ребрам. Для произвольного X  V₁ имеем:

•       |X  (V₁\ X₁)| ≤ |V₁ \ X₁| (справедливо, так как для произвольных множеств A, B имеет место соотношение  (A  B)  B);

•       |X  X₁| ≤ |X| ≤ |(X)| (так как для каждой вершины из X  V₁ существует хотя бы одна смежная ей вершина из V₂).  

Следовательно, |X| = |X  (V₁\X₁)| + |X  X₁| ≤ |V₁\X₁| + |(X)| =

= |V₁| – |X₁| + |(X)| = |V₁| – (G) + |(X)|, т.е. |X| – |(X)| ≤ |V₁| – (G).

Теперь найдем:  X = X₀, на котором достигается равенство. Если  (G) = |V₁|, то в качестве  X₀,  в частности, можно взять пустое множество. Пусть (G) < |V₁|, положим:  X₀ = (V₁\ X₁)  Y, где Y  X₁ – множество тех вершин v, которые достижимы из V₁ \ X₁ по R-чередующимся цепям. Убедимся в том, что X₀ – это и есть искомое множество.

Пусть существует вершина v₂  (V₁\ X₁), но v₂  (Y), тогда это тонкая вершина. Выбрав некоторую вершину v₁  V₁ \ X₁, смежную для вершины v₂ в графе G_R, построим  R-увеличитель v₁ {v₁, v₂} v₂ , что невозможно из-за максимальности R.

Следовательно, (V₁\ X₁)  (Y). Так как (X₀)=  ((V₁\ X₁)  Y) =  (V₁\ X₁)  (Y), то с учетом предыдущего, получим:  (X₀)= (Y), т.е. |(X₀)| = |(Y)|.

Между множествами Y  и  (Y)  существует взаимно однозначное соответствие. Так как множество Y  X₁, то все его вершины толстые (иначе существовал бы R-увеличитель), следовательно, |Y|  |(Y)|.  Пусть существует тонкая вершина w  (Y), смежная с  y  Y, тогда чередующаяся цепь: v₀ e₁ v₁ e₂ … e_k y {y, w} w, где v₀  V₁\ X₁, является  R- увеличителем, что противоречит условию теоремы (R – наибольшее паросочетание) и, следовательно,  |Y| = |(Y)|.

Итак, |(X₀)|= |(Y)| = |Y|. Ввиду того, что (V₁\ X₁)  Y = , имеем: |X₀| = |V₁\ X₁| + |Y|. Отсюда     |X₀| – |(X₀)|= |V₁\ X₁| = |V₁| – |X₁| = |V₁| – (G).

Следствие. Все множество V₁ двудольного графа  (V₁, V₂, Е) можно взаимно однозначно отобразить в V₂ при помощи ребер из E тогда и только тогда, когда для любого X  V₁ выполняется неравенство: |(X)| ≥ |X|.

Пример 2.11

Пусть множество V₁ = {a, b, c, d, e}, множество V₂ представляет собой семейство подмножеств множества V₁, то есть V₂ = {{a, b, c, d}, {b, c, d, e}, {a, b}, {b, d, e}}. Требуется в каждом из подмножеств выбрать по одному представителю так, что бы все они были различны.

Решение. В качестве множества E  возьмем отношение принадлежности элементов V₁ подмножествам V₂. В результате задача сводится к отысканию наибольшего паросочетания R  в двудольном графе (V₁, V₂ , E), рис. 2.19, а.

Решение задачи можно начать с R = , однако, лучше начать с некоторого "наивного" выбора представителя, получаемого следующим образом: Выберем a для первого из множеств {a, b, c, d}, {b, c, d, e}, {a, b}, {b, d, e}, которому он принадлежит, затем выберем b для первого из множеств, которому он принадлежит и, в котором еще не выбран представитель, и т.д. Построенное, таким образом, паросочетание R содержит три ребра и показано на рис. 2.19, б.

Путем перебора вариантов, которые можно упорядочить, находим R-увеличитель с последовательными вершинами:  e, {b, d, e}, d, {b, c, d, e}, b, {a, b, c, d}, a, {a, b}; заменяя тонкие ребра в этой цепи на толстые и наоборот получим новое паросочетаниеR  с |R| = 4.  (рис. 2.20, а) и убеждаемся (опять с помощью перебора), что в рассматриваемом графе больше нет R-увеличителей.

 

 

Рис. 2.19. Выбор представителей на первом шаге

Теперь найдем множество: X₀ = (V₁\ X₁) Y. Имеем: V₁\ X₁ = {c}, тогда Y – это все достижимые чередующимися цепями вершины V₁ из вершины с, т.е. Y= {a, b, d, e}, следовательно,X₀  = V₁  и  (X₀ ) = V₂. Отсюда |X₀| –|(X₀)| =5 – 4 = 1. Тогда по теореме 2.12:  (G)  5 – 1 = 4. Таким образом, одним из решений этой задачи будет  решение: {a, b, c, d}, {b, c, d, e}, {a, b}, {b, d, e}, в котором искомые представители выделены подчеркиванием.

 

Рис.2.20. Наибольшие паросочетания

 

Если бы вместо указанного R-увеличителя выбрали другой, например,    с, {a, b, c, d}, a, {a, b}, то получили бы другое решение (рис. 2.20, б): {a, b, c, d}, {b, c, d, e}, {a, b}, {b, d, e}.

Гамильтоновы цепи и циклы в двудольном графе

Напомним, что гамильтоновой цепью называется простая цепь, содержащая все вершины графа. Аналогично определяется гамильтонов цикл. Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым.

Двудольный граф, как и любой другой, может быть гамильтоновым, содержать гамильтоновы цепи или не быть таковым. Однако для двудольных графов существуют простые необходимые условия существования гамильтоновых циклов и цепей.

Действительно, заметим, что в любые цепь или цикл двудольного графа вершины входят поочередно из разных классов. Пусть G = (V₁, V₂, E) –  гамильтонов граф, тогда любой его цикл содержит четное число ребер, а, следовательно, и вершин, то есть |V₁| = |V₂|. Пусть теперь рассматриваемый граф имеет гамильтонову цепь. Цепь может быть четной длины, концы принадлежат одному классу, или  нечетной, концы принадлежат разным классам. Учитывая, что число вершин в цепи на одну больше чем ребер, имеем ||V₁| – |V₂||  1.