1.Размерность произвольной физической величины мо­жет быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.

2.Размерности обеих частей равенства, отражающего некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.

Отсюда сразу следует простой алгоритм размерных оценок.

1.Вы­писать группу N физических величин, между которыми, есть какая-то взаимосвязь.

2.Поставить размерности этих величин, выраженные че­рез К ≤ N размерностей основных величин.

3.Составить из выписанных величин безразмерные про­изведения. Некоторые величины при этом, возможно, при­дется возвести в какие-то степени.

Если N - К = 1, безразмерное произведение будет единственным.

4.Приравнять это произведение безразмерной константе, в результате получается искомая закономерность.

3.3. Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.

Пример 1. Оценка зависимости скорости распространения волны в струне, закрепленной с одного конца и возмущенного второго.

1.Ско­рость распространения бегущей волны v может зависеть, очевидно, от силы натяжения струны F, ее длины l и мас­сы m, т.е от четырех величин(v, F, l и m; N = 4), связь между которыми нас интере­сует.

2.Выпишем размерности этих величин (в системе измерения СГС): v ~ см/с, F ~ г • см/с², l ~ см, m ~ г.

Число основных величин К = 3 (см, г, с). Значит N - К = 1.

3.Составим произведение

vF^αl^β m^γ

(α, β, γ - некоторые числа), которое будет безразмерным, если потребовать обращения в нуль показателей степеней каждой из основных величин, вхо­дящих в vF^αl^β m^γ. Размерность этого последнего выра­жения есть

см^1+α+β г^α+γс^-1-2α

Из системы уравнений:

1+α+β =0 ,

α+γ =0,

-1-2α =0,

следует, что α =-1/2 β = -1/2 γ =1/2.

Тот факт, что выписанная система уравнений имеет единст­венное решение, гарантирует нам, что безразмерная комбинация vF^-0.5l^-0.5m^0.5 также единственная. Искомая закономерность выражается формулой:

vF^-0.5l^-0.5m^0.5 = k,

где k-безразмерная постоянная, или

v = k (F^0.5l^0.5/m ^0.5 )= k ((F*l )/m )^0.5.

Размерноcти обеих частей последнего равенства, конечно, одинаковы.

В дальнейшем будет подразумеваться аналогичный подход при иллюстрации метода размерных оценок в различных разделах физики.

Пример 2. Вывод зависимости для периода математического маятника.

Рассмотрим математический маятник: груз массы m, подве­шенный на невесомой нити длиной l. Маятник колеблется в поле силы тяжести (ускорение которой равно g).

Период колебаний маятника T может зависеть от массы m, длины нити l и ускорения силы тяжести g:

T~ l, m,g .

В классе систем единиц LMT масса m и длина l имеют размер­ности основных единиц [m]=(0,1,0), [l]=(1,0,0)

Что же касается ускорения g, то его размерность производная от размерностей основных единиц L,М,Т:[g]=(1,0,-2)

Период Т имеет размерность [T]=(0,0,1).

Так как векторы для массы, длины и времени линейно независимы (величины L, М и Т размерно независимы), в какой бы степени ни входили m иlв соотношение для T, получить вектор с ненулевой третьей компонентой все равно не удастся. Вместе с тем необходимо убрать отличные от нуля компоненты векторов массы и длины. Так как векторы массы и длины линейно независимы, и вторая компонента вектора размерности [Т] равна нулю, вектор массы должен входить в линейную комбинацию, дающую вектор времени с нулевым коэффи­циентом (период не зависит от массы), а векторы длины и ускорения - с коэффициентами, равными по абсолютной величине, но противопо­ложными по знаку.

Нетрудно видеть, что

[T]= (1/2)[[l]-[g]],

Или T~ (l/g)^1/2.

Точная формула отличается от соотношения для периода только числовым коэффициентом:

T=2π (l/g)^1/2 .

Законы

Определение массы

Сила

Виды сил

импульс

трехмерная запись

одномерная

интегрирование частных случаев при отсутствии сил

условия корректности математической постановки задачи Коши

Законы Ньютона

Запись 2 закона в общей постановке для произвольного движения

Величины силы и массы

Размерность силы

Определение через импульс

Приближенно для малых промежутков времени

Для совокупности материальных точек - системы тел и сил

Для замкнутой системы физических тел(изолированной системы материальных точек)

Закон сохранения импульса-фундаментальный закон природы

Векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы в инерциальной системе отсчета не изменяется со временем

Для двух тел

Столкновение двух тел можно использовать для измерения массы тела путем сравнения с эталонной массой

или

Изменения скоростей могут быть измерены

Тогда связь с эталонной массой дает возможность вычислить искомую

Для замкнутой системы из 2-х тел продифференцируем по времени условие постоянства их полного импульса

Получим

Учитывая 2-й закон, запишем условие, выражающее 3-й закон

Для произвольного числа тел легче исходить из обратного

Применение законов

Свободное движение

Второй закон Ньютона: из эксперимента следует

md²r/dt² = F,

где r = xi + yj + zk;

d²r/dt² d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt²;

Рассмотрим закон Ньютона при зависимости параметров только от координаты x ,

md²x/dt² = F_x

Перейдем сейчас от обсуждения общих свойств второго закона Ньютона как средства для вычисления траекторий к рассмотрению конкретных задач и конкретных движений, которые можно детально исследовать с помощью этого основного уравнения механики.

В случае, когда на тело никакие силы не действуют, то есть F = 0, решением уравнения 3) является движение с постоянной скоростью v = const.

Это простейший тип движения — свободное движение.

Первый этап — определение типа движения.

Второй этап — физическая формулировка задачи: выбор системы отсчета, определение действующих сил и начальных условий.

Третий этап — математическая формулировка задачи: запись уравнений,

Это дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Записанное для одномерного случая при F = 0, имеет вид

d²x/dt² = 0;

При заданных начальных условиях имеем задачу Коши:

t = 0; x = x₀; dx/dt = (dx/dt)₀;

тогда задача, описываемая этим уравнением, считается корректной.

(Данным уравнением мы можем описать прямолинейное движение.

для совокупности частиц(для каждой)

m_id²r_i /dt² = F_i;

из решения этой задачи - определяется положение частиц(координата x).

Таким образом, приближая молекулу к точке, можем фиксировать поведение газа, состоящего из молекул;)

Для одной частицы имеем:

d²x/dt²= 0,

t = 0, x=x₀, dx/dt = (dx/dt)₀;

Четвертый этап — математическое решение задачи.

Решение –интегрирование однородного ОДУ

делается замена  dx/dt = v

d²x/dt² = dv/dt = 0,  v = const = v₀

dx/dt = v₀ = const

– уравнение с разделяющимися переменными.

dx = v₀ dt = v₀  dt

После интегрирования

x= x₀ + v₀t

Пятый этап — проверка полученного решения.

Прием первый — проверка ответа по размерности.

Прием второй — проверка ответа по заранее очевидным результатам.

md²r/dt² = 0 – описывает движение с постоянной скоростью.

Движение с постоянным ускорением при действии постоянной силы

Первый этап — определение типа движения.

Второй этап — физическая формулировка задачи: выбор системы отсчета, определение действующих сил и начальных условий.

Третий этап — математическая формулировка задачи: запись уравнений,

Если

md²х/dt² =mа

не равно 0, то движение ускоренное

t = 0, v = v₀; x= x₀

Четвертый этап — математическое решение задачи.

a = d²х/dt²;

или

a = dv/dt;

Откуда

dv = adt;

Интегрируя обе части

∫ dv =∫ adt;

Взятие интеграла дает

v = at + C

постоянные интегрирования определяюся из начальных условий

Например,

при

t = 0, v = v₀;

тогда

v = v₀ + at

или используя выражение для скорости

dx/dt = v₀ + at;

разделяя переменные

dx =(v₀ + at)dt;

перемножая почленно

dx = atdt + v₀dt;

Применяя операцию почленного интегрирования(свойство интеграла суммы)

∫dx = ∫ atdt + ∫ v₀dt

Получаем интеграл

x = at²/2 + x₀ + v₀t.

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий для координаты частицы и скорости

Следует особо!!!!!! Отметить, что задаются одновременно координата и скорость частицы

Это позволяет делать только классическая механика

Пятый этап — проверка полученного решения.

Прием первый — проверка ответа по размерности.

Прием второй — проверка ответа по заранее очевидным результатам.

Редко используемое и неточное выражение для средней скорости

v_ср. =(t) _t1 ^t2 ∫ vdt

Движение материальной точки под действием постоянной силы –размерная задача

Прежде всего, к такому типу движения относится при определенных условиях движение под действием силы тяжести. Сила тяжести, как и любая сила, является векторной величиной. Примем упрощающее предположение,

что ее модуль постоянен. Но так как эта сила направлена к центру Земли, то ее направление в разных точках земной поверхности различно. Однако при исследовании движений тел, перемещающихся на расстояния, которые намного меньше радиуса Земли (R ~ 6000 км), можно

пренебречь кривизной земной поверхности и с хорошей точностью считать, что сила тяжести не меняет своего направления, оставаясь перпендикулярной этой поверхности. В этих условиях сила тяжести может рассматриваться постоянной как по модулю, так и по направлению. Помимо силы тяжести, с постоянными силами приходится часто сталкиваться при рассмотрении работы различных технических устройств, когда их различные детали испытывают действие постоянных сил со стороны других деталей.

Какой вид имеет траектория камня? От чего зависит дальность полета? Аристотель утверждал, например, что на начальном участке траектория брошенного под углом к вертикали тела является прямой линией, и это, вроде бы, подтверждается непосредственными наблюдениями. Потребовалось почти два тысячелетия, чтобы понять, что траектория на самом деле является криволинейной на всех участках полета.

Изучение движения брошенного тела включает в себя несколько этапов, характерных для решения большинства задач механики.

Первый этап — определение типа движения.

Второй этап — физическая формулировка задачи: выбор системы отсчета, определение действующих сил и начальных условий.

любая точка поверхности движется с ускорением, обусловленным вращением Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца. Но для многих практических задач этот эффект «неинерциальности» является несущественным, и мы будем полагать, что и в нашей задаче этим эффектом можно пренебречь и считать выбранную систему отсчета инерциальной. В инерциальной системе отсчета справедлив второй закон Ньютона , где теперь под F подразумевается постоянная сила тяжести. Мы изобразили эту силу на рис. 4.2 а для некоторого произвольного момента времени после начала движения, поместив тело известной массы в некоторой произвольной точке над поверхностью. Истинное положение тела в различные моменты времени, то есть траекторию его движения, мы сможем определить только после окончательного решения задачи.

рис 4.2

Третий этап — математическая формулировка задачи: запись уравнений, соответствующих физической формулировке. Уравнение D.3) содержит в качестве неизвестных векторные величины r(t) и v(t). Поэтому оно фактически представляет собой совокупность трех уравнений для трех проекций вышеупомянутых величин.

Для проекций радиуса-вектора тела введем обозначения: r_х = х, r_у = у, r_z = z. Взяв проекции на оси координат от левой и правой частей уравнения движения, мы получаем три уравнения:

Справа от каждого из уравнений записаны начальные условия, являющиеся

неотъемлемыми элементами физической и математической формулировки задачи. Знак «минус» перед mg в последнем уравнении отражает тот факт, что сила тяжести направлена в отрицательном направлении оси Oz.

Четвертый этап — математическое решение задачи. Составляющая скорости v_z имеет вид:

Константу определяем из условия

Интегрируем еще раз:

Новую константу определяем из условия z(0) = 0.

окончательно решение:

Найденные выражения определяют зависимость от времени всех трех проекций радиуса-вектора тела, движущегося под действием силы тяжести.

Тем самым задача о нахождении траектории движения решена.

достаточно выразить t через х в первом из равенств и подставить результат в выражение для z(t). Это дает уравнение траектории в плоскости zOx:

Из геометрии известно, что это соотношение представляет собой уравнение

параболической кривой, и следовательно, ни на одном из участков полета тела его траектория не является прямой линией.

дальность полета тела. При падении на поверхность z = 0, и из этого условия находим

Пятый этап — проверка полученного решения.

Прием первый — проверка ответа по размерности.

Прием второй — проверка ответа по заранее очевидным результатам.

Движение ракеты

Первый этап — определение типа движения.

Второй этап — физическая формулировка задачи: выбор системы отсчета, определение действующих сил и начальных условий.

Скорость выброса газов относительно корпуса ракеты-известна(конструкция сопла, тип топлива, параметры горения)-это относительная скорость.

Задача-найти скорость ракеты, массу и т.д.

Третий этап — математическая формулировка задачи: запись уравнений,

Четвертый этап — математическое решение задачи.

Формула Циолковского

Пятый этап — проверка полученного решения.

Прием первый — проверка ответа по размерности.

Прием второй — проверка ответа по заранее очевидным результатам.

При переменной во времени скорости истечения

Для описания движения ракеты в поле Земли следует добавить силу

Уравнение Мещерского

Силы

Разложение сил