5.7. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора
Пусть
функция
непрерывна на некотором промежутке
.
В определении 2 непрерывности функции
в точке величина
зависит не только от
,
но и от
.
Причем, чем круче график функции в
окрестности точки
,
тем меньше
(рис. 55). Отказ от зависимости
от точки
приводит к понятию равномерной
непрерывности.
Определение.
Функция
называется равномерно-непрерывной на
промежутке
,
если для любого
найдется такое
,
что для любых двух точек
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Иными
словами, равномерная непрерывность
означает выполнение неравенства
независимо от положения точек
и
на промежутке
,
лишь бы разность
была достаточно малой.
Для
равномерно-непрерывной функции величина
зависит только от
и является общей для всего промежутка
.
Рис. 55
Теорема Кантора.
Если функция непрерывна на отрезке
,
то она равномерно непрерывна на этом
отрезке.
Доказательство.
Предположим, что функция
непрерывна
на отрезке
,
но не является равномерно непрерывной
на этом сегменте.
Тогда для некоторого
и для любого сколь угодно малого
найдутся две точки
и
отрезка
такие, что
но
.
Выберем
бесконечно малую последовательность
положительных чисел
с натуральными
.
Тогда, можно утверждать, что для указанного
и для любого номера
найдутся две последовательности
и
отрезка
такие, что
но
.
Так как
последовательность
состоит
из точек отрезка
,
то она ограничена и по теореме Больцано
Вейштрасса из нее можно выделить
сходящуюся подпоследовательность
,
.
Предел указанной подпоследовательности
будет также принадлежать данному
отрезку. В силу неравенства
соответствующая
подпоследовательность
будет сходиться к той же самой
.
Поскольку
функция
непрерывна
в каждой точке указанного отрезка, она
непрерывна и в точке
.
Но тогда, в силу определения непрерывности
по Гейне, обе подпоследовательности
соответствующих значений функции
и
обязаны
сходиться к
,
т.е. разность yказанных
подпоследовательностей
обязана быть бесконечно малой, что
противоречит неравенству
,
справедливому для всех номеров
и потому для всех номеров
.
Полученное противоречие доказывает,
что наше утверждение о том, что непрерывная
на отрезке функция не является равномерно
непрерывной на нем, является неверным.
Отметим, что эта теорема неверна для интервала или полуинтервала.
Пример.
Функция
непрерывна на интервале
,
однако она не является равномерно-непрерывной
на этом интервале. В самом деле, если
,
,
то
,
,
.
Так как
,
то
.
(*)
Если
,
то, каково бы ни было
,
из условия (*) следует, что всегда найдется
такое
,
для которого
,
,
,
а
.
Это и означает, что функция
не является равномерно непрерывной на
интервале
.
5. Задачи Группа а
1. Задана функция
и два значения аргумента
и
.
Требуется: 1) установить, является ли
данная функция непрерывной или разрывной
для каждого из данных значений аргумента;
2) в случае разрыва функции найти ее
пределы в точке разрыва слева и справа;
3) сделать схематический чертеж.
1)
,
,
;
2)
,
,
;
3)
,
,
;
4)
,
,
;
5)
,
,
;
6)
,
,
;
7)
,
,
;
8)
,
,
;
9)
,
,
;
10)
,
,
.
2. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
