3.29. Асимптоты графика функции и их построение
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.
Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными.
Вертикальные асимптоты появляются на границах области определения функции и в точках разрыва второго рода. Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если или
Например, кривая имеет вертикальную асимптоту , так как Примером асимптоты графика функции, возникающего на границе области определения, является асимптота графика .
Пример 5. Исследовать функцию на наличие вертикальных асимптот.
Решение. Функция определена на множестве . Поскольку точка оказывается выколотой из области определения, то рассмотрим левосторонний и провосторонний пределы функции при
и .
Функция имеет вертикальную асимптоту .
Наклонные асимптоты появляются при и как наклонные прямые описываются уравнением вида . Для нахождения параметров и рассмотрим произвольную точку , расположенную на кривой, имеющей наклонную асимптоту.
Расстояние от точки до асимптоты стремится к нулю при удалении точки на бесконечность. Удобнее, однако, рассмотреть отрезок , являющийся гипотенузой прямоугольного треугольника . Поскольку не изменяется при , то или
.
Выносим за скобки и получаем
.
Так как величина является бесконечно большой величиной, то
.
Вычитаемое может быть опущено как бесконечно малая величина, следовательно,
или
.
Из условия находим:
.
Если хотя бы один из пределов, связанных с вычислением коэффициентов и не существует или равен бесконечности, то кривая не имеет наклонной асимптоты. В частном случае, когда получаем горизонтальную асимптоту. Существуют функции, графики которых имеют различные асимптоты при стремлении к и , поэтому при определении параметров и необходимо вычислять соответствующие пределы при и .
Пример 6. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Поскольку то график функции при асимптоты не имеет. При получаем:
Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту .
Пример 7. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Поскольку единственной точкой, выколотой из области определения функции, является , то находим левосторонний и правосторонний пределы при :
Найденные пределы говорят о наличии вертикальной асимптоты .
Для нахождения наклонной асимптоты вычислим пределы, соответствующие параметрам и :
Следовательно, при график функции имеет горизонтальную асимптоту .