Занятие 3. Логический вывод в исчислении высказываний

3.1. Силлогизмы

Элементарное высказывание называется атомом. Высказывание называется логически истинным или тавтологией, если для всех значений входящих в него атомов, оно всегда истинно. Высказывание называется логически ложным или невыполнимым (противоречивым), если при всех значениях составляющих его атомов, оно ложно.

Умозаключением называется умственное действие, с помощью которого осуществляется переход от некоторых исходных высказываний к заключительному утверждению. Исходные высказывания называются посылками, исходными данными или исходными условиями. Заключительное

30

утверждение называется логическим следствием, заключением или выводом.

В формальной логике существует несколько способов

проверки правильности рассуждений, то есть проверки, является ли некоторое утверждение логическим следствием исходных высказываний (посылок).

Силлогизмы – это правильные схемы рассуждений, в которых заключение верно в силу именно формы рассуждения, а не содержания. Впервые силлогизмы исследовались еще Аристотелем. Рассмотрим следующие силлогизмы.

1. Способ спуска

2. Доказательство от противного

3. Дизъюнктивный силлогизм

4. Гипотетический силлогизм (транзитивность импликации)

31

5. Простая конструктивная дилемма

6. Сложная конструктивная дилемма

7. Простая деструктивная дилемма

8. Сложная деструктивная дилемма

Использование в рассуждениях таких стандартных схем гарантирует правильность полученных выводов. Если рассуждение построено не в соответствии со схемой силлогизма, можно попытаться доказать справедливость заключения последовательным применением нескольких силлогизмов. Пример: Доказать правильность умозаключения:

, , ╞ .

32

Используем сначала способ спуска для второго и третьего высказываний

Затем используем полученный результат, первое высказывание и силлогизм 2 (доказательство от противного)

Однако использование силлогизмов не является систематическим методом доказательства правильности логического вывода и не может быть применено к любым схемам рассуждений.

3.2. Метод прямого преобразования

Высказывание есть логическое следствие высказываний , то есть, ╞, если для всякого распределения истинностных значений, приписываемых каждой из простых формул , входящих в одну или несколько из формул и в формулу , формула получает значение истина всякий раз, когда каждое значение получает значение истина.

Проиллюстрируем сказанное на примере. Если будет потепление, то пойдет снег. Потепления не будет. Вывод: снега не будет.

33

На языке исчисления высказываний эти условия будут выглядеть так: ╞ , где - потепление; - снег. Для проверки правильности умозаключения составим таблицу истинности

Из таблицы истинности следует, что умозаключение является неверным, так как не всякий раз истинность посылок приводит к истинности вывода.

Теорема 1.

1. ╞ тогда и только тогда, когда импликация является тавтологией.

2. ╞ тогда и только тогда, когда является тавтологией.

Теорема 2. Если импликация является тавтологией, то умозаключение будет правильным, то есть, ╞ .

Воспользуемся рассмотренными теоремами для доказательства правильности умозаключения. Рассмотрим пример. Будет пасмурная погода со снегом. Если будет снег, то будет и дождь. Если будет пасмурная погода с ветром, то дождя не будет. Вывод: ветра не будет.

34

На языке исчисления высказываний эти условия запишутся так ╞ , где - пасмурная погода; - снег; - ветер, - дождь.

Докажем, что является тавтологией.