Занятие 4. Исчисление предикатов

4.1. Основные понятия

Логика высказываний позволяет формализовать лишь небольшую часть множества рассуждений. Высказывания, описывающие некоторые свойства объектов, или отношения между объектами выходят за рамки логики высказываний. В исчислении высказываний анализируются высказывания при одной фиксированной ситуации. В исчислении предикатов исследуется зависимость высказываний от ситуации. При этом фиксируется не одна ситуация, а множество допустимых ситуаций.

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (субъект чаще всего выступает в роли подлежащего, хотя может быть и дополнением) и предикат (предикат выступает в роли сказуемого, хотя может быть и определением).

Субъект – это то, о чем утверждается в высказывании.

Предикат - это то, что утверждается о субъекте. Например, 14 - чётное число; 14 - субъект; чётное число - предикат, то есть, 14 обладает свойством быть четным числом. Если в рассмотренном высказывании заменить 14 на переменную из множества натуральных чисел, то получаем высказывательную форму « - чётное число». Высказывательная форма определяет функцию одной переменной , определённую на множестве натуральных чисел и принимающую значения из множества .

Одноместным предикатом называется произвольная функция переменной , определённая на множестве и принимающая значение из множества . Множество, на котором определён предикат , называется областью определения предиката. Множество

61 всех элементов , принадлежащих , при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката . Множество истинности предиката задаётся в виде:

Например, множество истинности для предиката - “” задаётся так: , где – множество целых чисел. Множеством истинности для предиката – “Диагонали параллелограмма перпендикулярны” является множество всех ромбов. Областью определения этого предиката является множество всех параллелограммов.

Предикат, определенный на множестве , называется тождественно истинным, если , и тождественно ложным, если .

Двуместным предикатом называется функция двух переменных и , определенная на множестве ( – области определения переменных и соответственно) и принимающая значения из множества . Например, предикат равенства ”” определен на множестве ( – множество действительных чисел). Примерами бинарных предикатов являются: , , .

Примерами трехместных предикатов являются: ,

Предикаты, так же как и высказывания, принимают только два значения , поэтому к ним применимы все

62

операции исчисления высказываний: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквиваленция и для них справедливы все эквивалентности исчисления высказываний.

Следует учесть, что операции дизъюнкции, конъюнкции и импликации вводятся для предикатов, определенных на одном и том же множестве . Результатом этих операций всегда является некоторый предикат, определенный на том же множестве .

Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на множестве заданы два предиката и .

Конъюнкцией двух предикатов и называется новый предикат , который принимает значение “истина”, при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “истина”, и принимает значение “ложь” во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката является пересечение областей истинности предикатов и , то есть множество .

Например, для предикатов - “” и - “” конъюнкцией будет предикат “”, то есть предикат “”.

Дизъюнкцией двух предикатов и называется новый предикат , который принимает значение “ложь”, при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

63

Областью истинности предиката является объединение областей истинности предикатов и , то есть множество .

Отрицанием предиката называется новый предикат , который принимает значение “истина” при всех значениях , при которых предикат принимает значение “ложь”, и принимает значение “ложь” при тех значениях , при которых предикат принимает значение “истина”.

Областью истинности предиката является относительное дополнение множества до множества , то есть, множество тех элементов , которые не вошли во множество .

Импликацией предикатов и называется новый предикат , который принимает значение “ложь”, при тех и только тех значениях , при которых одновременно принимает значение “истина”, а принимает значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Так как при каждом фиксированном импликация =, то область истинности импликации получается объединением областей истинности двух предикатов и .