6.1. Метод семантических таблиц
Для доказательства правильности умозаключения в исчислении предикатов можно пользоваться методом семантических таблиц. Как и в исчислении высказываний с помощью семантической таблицы можно доказать общезначимость формулы.
Основой для построения семантических таблиц является атомарная семантическая таблица.
На
основании атомарной семантической
таблицы докажем общезначимость формулы
|
|
|
|
|
Формула
является общезначимой, так как
соответствующая ей семантическая
таблица, построенная в предположении
ложности формулы, является противоречивой.
Таблица 4
|
|
|
|
|
99
Продолжение табл. 4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим
семантическую таблицу для формулы
.
|
|
|
|
100
Данная
семантическая таблица не является
противоречивой, поскольку функция
истинна при каком-то одном значении
из области определения функции
и та же функция ложна при каком-то другом
значении
.
Для всех же значений
условие противоречивости не выполняется.
Далее приведены семантические таблицы для двух общезначимых формул.
|
|
|
|
|
|
|
| |
101
| |
| |
| |
|
| |
6.2. Процедура вывода Эрбрана
Раннее
было установлено, что множество дизъюнктов
невыполнимо тогда и только тогда, когда
оно принимает значение ложь при всех
интерпретациях на любых областях. Однако
в силу невозможности рассмотрения всех
интерпретаций на любых областях хорошо
бы найти такую специальную область
интерпретации, установив на которой
факт невыполнимости множества дизъюнктов,
можно было бы сделать вывод о невыполнимости
этого множества на любых других областях
интерпретаций.
102
Такая специальная область интерпретации существует и называется универсумом Эрбрана. Универсум Эрбрана определяется так:
Шаг
1. Пусть
-
множество дизъюнктов, соответствующее
предложению
.
где
- новая константа (слово “новая означает,
что она не встречается в
).
Эта новая константа выбирается
произвольным образом.
Шаг
.
И,
наконец, полагаем
.
Множество
всех термов, построенных из констант
и функциональных символов, встречающихся
в
,
называется эрбрановским
универсумом
для
,
а
–
его уровнем
.
Множества
называются
эрбрановскими
множествами
Проиллюстрируем получение универсума Эрбрана на следующих примерах.
Пример
1. Пусть
Тогда
;
;
;
…………………………………….
.
103
Пример 2.
Пусть
Так
как не существует никаких констант в
,
полагаем
.
Не существует никаких функциональных
символов в
,
следовательно,
Пример 3.
Пусть
.
Тогда
;
;
;
………………………………………………………
.
Пример 4.
Пусть
;
;
;
.
………………………………………………………
Если под выражением понимать терм, множество термов, атом, множество атомов, литеру, множество литер, дизъюнкт или множество дизъюнктов, то под фундаментальным выражением будем понимать выражение, в котором все переменные заменены элементами универсума Эрбрана. Так, фундаментальным примером дизъюнкта будем называть дизъюнкт, полученный заменой всех переменных в этом дизъюнкте элементами универсума Эрбрана таким образом, что все вхождения одной и той же переменной в дизъюнкт заменяются одним и тем же элементом универсума.
104
Множество
фундаментальных атомов вида
,
где
– все
- местные предикатные символы, встречающиеся
во множестве дизъюнктов
и
– элементы универсума Эрбрана,
называется атомарным
множеством
или эрбрановской
базой
для
.
Обозначим эрбрановскую базу через
.
Пример 5.
Пусть
.
Тогда
Фундаментальные
примеры:
и т.п.
Определим
теперь интерпретацию на универсуме
Эрбрана и назовем ее
-
интерпретацией. Говорят, что интерпретация
является
-
интерпретацией для множества дизъюнктов
,
если выполнены следующие соответствия:
-
каждому предикатному символу
соответствует некоторое
-
местное отношение в
;
-
каждому функциональному символу
соответствует некоторая
-
местная функция в
(т.е. функция, отображающая
в
);
-
каждой предметной константе
из
соответствует некоторая константа из
(т.е. все константы отображаются на самих
себя).
Пусть
является эрбрановской базой для
.
Тогда
-
интерпретация
может быть представлена множеством
,
в котором
есть
или
для
При этом, если
есть
то
имеет значение “истина”, в противном
случае “ложь”.
105
Пример
6.
Пусть
.
Тогда
.
Примеры
-
интерпретаций:
;
;
При
оба дизъюнкта выполнимы, при
первый дизъюнкт выполним, второй нет,
при
оба дизъюнкта невыполнимы, т.е. принимают
значение “ложь”.
В
случае если интерпретация задана не на
универсуме Эрбрана, а на произвольной
области
,
то можно установить следующее соответствие
между этими интерпретациями. Пусть дана
интерпретация
на некоторой области
.
Говорят, что
-
интерпретация
соответствует интерпретации
,
если имеет место следующее: пусть
– элементы
и пусть каждый
отображается на некоторый элемент
области
,
тогда, если любой
принимает значение “истина” (“ложь”)
при интерпретации
,
то
также принимает значение “истина”
(“ложь”) при
.
Имеет место следующая теорема.
Теорема
Множество
дизъюнктов
невыполнимо тогда и только тогда, когда
ложно при всех
-
интерпретациях.
Доказательство
«тогда» очевидно, а «только тогда» легко
доказывается от противного введением
соответствия между
-
интерпретацией и некоторой
произвольной
106
интерпретацией. В дальнейшем будем рассматривать только
-
интерпретации, и называть их просто
интерпретациями
.
Таким
образом, для установления невыполнимости
множества дизъюнктов необходимо и
достаточно рассмотреть только
-
интерпретации.
Процедура вывода Эрбрана основывается на его теореме.
Теорема
Эрбрана.
Множество
дизъюнктов
невыполнимо
тогда и только тогда, когда существует
конечное невыполнимое множество
фундаментальных примеров дизъюнктов
.
Таким
образом, для установления невыполнимости
множества дизъюнктов необходимо
образовать множества
фундаментальных примеров дизъюнктов
и последовательно проверять их на
ложность. Теорема Эрбрана гарантирует,
что, если множество дизъюнктов
невыполнимо, то данная процедура
обнаружит такое
,
что
является
ложным.
Процедура вывода Эрбрана состоит из двух этапов: сначала находится множество всех фундаментальных примеров дизъюнктов и затем, используя мультипликативный метод, из КНФ получают ДНФ.
Пример.
Пусть
.
Находим
и фундаментальные примеры дизъюнктов:
.
Затем
с помощью мультипликативного метода
убеждаемся в невыполнимости
.
107
=
.
Недостаток
процедуры вывода Эрбрана состоит в
экспоненциальном росте множества
фундаментальных примеров
при увеличении
.
C
помощью процедуры вывода Эрбрана удается
доказать только простые теоремы.
Иной поход предложил Дж. Робинсон, который ввел принцип резолюции, являющийся теоретической базой для построения большинства методов автоматического доказательства теорем.