39.Поток векторного поля.Поток векторного поля. Рассмотрим кусок поверхности , заданной уравнением

Пусть выполняется условие 

, что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором 

. Выберем одну из сторон поверхности следующим образом: построим на поверхности достаточно малый замкнутый контур, на котором задано направление обхода. Построим вектор нормали в точке поверхности, лежащей внутри контура. Если из конца вектора нормали обход контура кажется происходящим против часовой стрелки, то будем называть сторону поверхности, обращенную к вектору нормали положительной стороной. Таким образом, будем рассматривать ориентированную двухстороннюю поверхность, а односторонние поверхности лист Мебиуса, бутылку Клейна оставим в покое. Потоком векторного поля  через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл по площади поверхности (1-го рода)

, где -  

  единичный вектор нормали, направленный в положительную сторону. Выбор положительной стороны обычно диктуется физическими условиями задачи.

40.Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле порождает скалярное поле div .

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского можно представить в форме:

т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы (3.38) можно записать: и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V → 0 ), имеем:

То есть div есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

Если поток , то в область V втекает большее количество жидкости (если следовать ранее рассмотренному примеру о течении несжимаемой жидкости), чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.

Если П < 0, то внутри области V есть стоки. Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т.е. при П ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.

Для характеристики точки можно использовать div.

Если div > 0, то данная точка есть источник, если div < 0  – то сток.

Заметим, что divможно записать с помощью символического вектора Гамильтона в следующем виде:

Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):

где U – скалярная функция.