
21. Метод вариации произвольных постоянных.
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = f(t)
состоит в замене произвольных постоянных ck в общем решении
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ... + cnzn(t)
соответствующего однородного уравнения
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = 0
на вспомогательные функции ck(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе
Определителем
системы (1) служит вронскиан
функций z1,z2,...,zn,
что обеспечивает её однозначную
разрешимость относительно
.
Если
—
первообразные для
,
взятые при фиксированных значениях
постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.
23.Лоду с постоянными коэфициентами.
Однородное линейное дифференциальное уравнение
где
--
функции от
,
имеет общее решение вида
где
,
,...,
-- линейно независимые частные
решения дифференциального уравнения,
а
,
,...,
-- произвольные постоянные.
Если
коэффициенты
,
,...,
постоянны, то частные решения
,
,...,
могут быть найдены с помощью
характеристического уравнения
Каждому
вещественному корню
этого
уравнения кратности
соответствуют
частных
линейно независимых решений
дифференциального уравнения
,
,...,
.
Каждой паре сопряженных комплексных
корней
кратности
соответствуют
пар
частных решений
,
,...,
,
,
,...,
.
Линейные
неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами.
Для решения неоднородного линейного
дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами
необходимо
найти общее решение
соответствующего
однородного уравнения
а
также одно частное решение
неоднородного
уравнения. Тогда общее решение
неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид
Для
поиска частного решения неоднородного
уравнения в случае, если
--
постоянные, можно использовать метод
неопределенных коэффициентов. А именно,
если
является
многочленом от
с
постоянными коэффициентами, либо
,
либо
есть
сумма или произведение указанных
функций, то частное решение можно искать
в таком же виде, но с другими коэффициентами,
подлежащими определению. Исключение
составляют особые (резонансные) случаи,
когда либо 1)
--
многочлен, и
является
корнем кратности
характеристического
уравнения, либо 2)
,
и
являются
корнями кратности
характеристического
уравнения. В этих особых случаях частное
решение отличается от правой части
уравнения не только постоянными
коэффициентами, то и дополнительным
множителем
.
Для
решения неоднородного дифференциального
уравнения малого порядка можно
использовать метод Лагранжа (метод
вариации произвольных постоянных).
Пусть
и
--
независимые частные решения уравнения
.
Тогда решение уравнения
по
методу Лагранжа находится в виде
,
где
и
--
функции от
,
удовлетворяющие системе дифференциальных
уравнений:
Следовательно,
Решив полученные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, получим и общее решение исходного дифференциального уравнения.
24. МЕТОД ПОДБОРА ПОСТРОЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = f(x).
Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные десйствительные числа, f(x) — непрерывная на [a, b] правая часть.
Общее решение этого уравнения имеет вид y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cnyn(x) + y*(x),
где С1, С2, ..., Сn — произвольные постоянные, y1(x), y2(x), ..., yn(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.
Частное решение y*(x) можно найти методом подбора, если правая часть уравнения — квазимногочлен — функция вида
f(x) = exp(αx)(Mm(x)cos(βx) + Nn(x)sin(βx)).
Здесь Mm(x) — многочлен степени m, Nn(x) — многочлен степени n, α и β — действительные числа.
Метод подбора вычисления частного решения линейного неоднородного уравнения с квазимногочленом в правой части состоит в том, что частное решение уравнения
отыскивают в виде
y*(x) = exp(αx)(Pk(x)cos(βx) + Qk(x)sin(βx))xr,
где Pk(x) и Qk(x) — многочлены степени k = max(n, m) с неизвестными коэффициентами,
Pk(x) = pkxk + pk-1xk-1 + ... + p1x + p0, Qk(x) = qkxk + qk-1xk-1 + ... + q1x + q0.
|
Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов Pk(x) и Qk(x) , подставляем y*(x) = exp(αx)(Pk(x)cos(βx) + Qk(x)sin(βx)) в уравнение и приравниваем в правой и левой части полученного равенства коэффициенты при
exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx), x2exp(αx)cos(βx), x2exp(αx)sin(βx), ..., xkexp(αx)cos(βx), xkexp(αx)sin(βx).
Полученная таким образом система 2k + 2 уравнений относительно 2k + 2 неизвестных имеет единственное решение.
Метод подбора применяется к ограниченному, но достаточно широкому классу правых частей, поскольку квазимногочленами являются функции вида:
Mk(x), Mk(x)exp(αx), Mk(x)cos(βx), Mk(x)sin(βx), exp(αx)(Mm(x)cos(βx) + Nn(x)sin(βx)).
25.Нормальная система дифференциальных уравнений. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.
Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:
(2)
Решения системы (2) обладают следующими свойствами:
1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы.
2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются решениями системы.
Решения
системы ищутся в виде:
Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем:
Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:
В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):
Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):
26. Системы ДУ с постоянными коэффициентами. Система уравнений вида
,
(1)
называется
неоднородной
системой линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Будем считать, что
являются
непрерывными функциями на (a,b).
Система дифференциальных уравнений
,
(2)
называется
однородной. Вводя в рассмотрение векторы
и
матрицу
,
уравнения (1),(2) можно представить в
векторной форме
,
(1')
.
(2')
Матрица
,
(3)
где
-
координаты линейно независимых решений
(векторов)
...........................
векторного уравнения (2'), называется фундаментальной матрицей этого уравнения. Иногда ее называют матрицей Вронского.
Определитель
,
составленный
из частных решений системы (2), называется
определителем
Вронского.
Для того, чтобы матрица (3), где
-
частные решения системы уравнений (2),
была фундаментальной, необходимо и
достаточно, чтобы
при
.
При этом общее решение векторного
уравнения (2') представляется в виде
,
где C - произвольный постоянный вектор. Общее же решение уравнения (1') будет
,
где
-
какой-нибудь вектор, являющийся частным
решением уравнения (1').
Путем исключения неизвестных систему всегда можно свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией. Этот метод удобен для решений несложных систем.
27. Метод Эйлера. Если задачу об отыскании решений дифференциального уравнения удаётся свести к конечному числу алгебраических операций, операций дифференцирования и интегрирования известных функций, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах.
В приложениях крайне редко встречаются уравнения. интегрируемые в квадратурах. Для исследования и решения уравнений, которые не интегрируются в квадратурах, используются численные методы решения задачи Коши.
Численное решение задачи Коши y' = f(x, y), y(a) = y0 на отрезке [a, b] состоит в построении таблицы приближённых значений y0, y1, ..., yi, ..., yN решения y = y(x), y(xi) ≈ yi ,
в узлах сетки a = x0< x1< ...< xi< ...< xN = b. Если xi = a + ih, h = (b-a)/N, то сетка называется равномерной.
Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x0 + h используется информация о решении только в точке x0.
Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши — метод Эйлера. В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле: yi+1 = yi + h·f(xi, yi):
y' = f(x, y), y(a) = y0 , x ∈ [a, b],
xi = a + ih, h = (b-a)/N, i = 0,1 , 2, ..., N,
y(xi)≈ yi ,
yi+1 = yi + h·f(xi, yi).
Для погрешности метода Эйлера на одном шаге справедлива оценка
а для оценки погрешности решения на всём отрезке [a, b] справедливо
Для практической оценки погрешности можно рекомендовать правило Рунге:производятся вычисления с шагом h — вычисляютcя значения y(h)i, затем производятся вычисления с половинным шагом h/2 — вычисляютcя значения y(h/2)i .
За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 принимают величину
Если соединить точки (xi, yi) прямолинейными отрезками, получим ломаную Эйлера — ломаную линию, каждое звено которой с началом в точке (xi, yi) имеет угловой коэффициент, равный f(xi, yi).
35. Формула Грина. Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция
с
непрерывными частными производными
первого порядка
.
Тогда справедлива формула
Грина
где
символ
указывает,
что кривая (контур) C
является замкнутой, и обход при
интегрировании вдоль этой кривой
производится против часовой стрелки.
Если
,
то формула Грина принимает вид
где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией
Ротором
или вихрем
векторного поля
называется
вектор, обозначаемый
или
и
равный
Формула Грина в векторной форме записывается в виде
Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат.
37.Формула Остроградского-ГауссаОбозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле
компоненты которого имеют непрерывные частные производные. Согласно формуле Остроградского-Гаусса,
где через
обозначена
дивергенция
векторного поля
(она
обозначается также символом
).
Символ
указывает,
что поверхностный интеграл вычисляется
по замкнутой поверхности.
Формула
Остроградского-Гаусса связывает
поверхностные интегралы второго рода
с соответствующими тройными интегралами.
Данную формулу можно записать
также в
координатной форме:
В
частном случае, полагая
,
получаем формулу для вычисления объема
тела
G:
36.Формула Стокса. Пусть S является гладкой поверхностью, ограниченной гладкой кривой C. Тогда для любой непрерывно дифференцируемой векторной функции
справедлива теорема Стокса:
где
− ротор
векторного поля
.
Символ
показывает,
что криволинейный интеграл вычисляется
по замкнутой кривой.
Будем
предполагать, что ориентация поверхности
и направление обхода кривой соответствуют
правилу правой руки. В этом случае при
обходе кривой поверхность всегда
остается слева, если голова направлена
в ту же сторону, что и вектор нормали
(рисунок
1).
Теорема Стокса связывает между
собой криволинейные интегралы второго
рода и поверхностные интегралы второго
рода.
В
координатной форме
теорема Стокса может быть записана в
следующем виде:
|
|
|
32.Двойной
интеграл в полярных координатах.
Одним
из частных случаев замены переменных
является переход из декартовой в
полярную
систему координат
(рисунок 1).
|
|
|
|
|
|
Якобиан такого преобразования имеет вид
Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен
Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):
Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой
Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям
В
этом случае формула замены переменных
в двойном интеграле имеет вид
31.Замена
переменной в двойном интеграле.
Для
вычисления двойного интеграла
иногда
удобнее перейти в другую систему
координат.
Это может быть обусловлено
формой области интегрирования или
сложностью подынтегральной функции.
В новой системе координат вычисление
двойного интеграла значительно
упрощается.
Замена переменных в
двойном интеграле описывается формулой
где
выражение
представляет
собой так называемый якобиан
преобразования
,
а S
− образ
области интегрирования R,
который можно найти с помощью подстановки
в
определение области R.
Отметим, что в приведенной выше формуле
означает
абсолютное значение соответствующего
определителя.
Предполагая, что
преобразование координат
является
взаимно-однозначным, обратное соотношение
описывается якобианом
при условии, что знаменатель нигде не равен 0. Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:
1.Найти
образ S
в новой системе координат
для
исходной области интегрирования R;
2.Вычислить
якобиан преобразования
и
записать дифференциал в новых переменных
Заменить
в подынтегральном выражении исходные
переменные x
и y,
выполнив, соответственно, подстановки
и
.