4. Теоретическое распределение. Оценка возможности замены эмпирического распределения теоретическим распределением

А. Теоретическое распределение.

Теоретическое распределение – это распределение вероятностей некоторой случайной величины, выбранное для описания закона, которому подчиняется фактическое распределение.

Замена фактического (эмпирического, полученного в результате статистического наблюдения) распределения теоретическим проводится с целью привлечения для анализа изучаемых явлений и процессов таких статистических методов как выборочный метод, метод регрессий и корреляций, факторный метод и др.

В качестве теоретического распределения в экономических исследованиях используются:

- нормальное распределение (распределение Гаусса);

- распределение Стьюдента (псевдоним англ. математика Вильяма Госсета) или t–распределение;

- распределение Пуассона;

- биноминальное распределение;

- логарифмически нормальное и др.

Чаще всего на практике применяют нормальное распределение (распределение Гаусса).

Нормальное распределение – это распределение вероятностей с плотностью:

. (1.27)

В статистической практике используется нормированное нормальное распределение, которое является нормальным распределением с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Переход к нормированному нормальному распределению осуществляется в соответствии с формулой:

, (1.28)

t – нормированное отклонение (величина);

– верхняя граница интервала в интервальном распределении.

Плотность распределения нормированного нормального распределения тогда имеет вид:

. (1.29)

Соответственно, функция распределения нормированного нормального распределения имеет вид:

. (1.30)

Значения функции F(t) приводятся в справочных таблицах.

t	0,00	0,33	0,72	1,00	1,38	1,78	2,83	∞
F(t)	0,500	0,628	0,784	0,841	0,916	0,972	0,997	1,00

При положительных значениях t - F(t) принимается по таблице (t = 0.33 - F(t) = 0.628).

При отрицательных значениях t - F(t) рассчитывают следующим образом (t = - 0.33 – F(-t) = 1 - F(t) = 1 - 0.628 = 0.372).

Б. Критерии согласия.

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Иначе говоря, он предназначен для проверки гипотезы о том, что ряд наблюдений образует случайную выборку, извлечённую из генеральной совокупности Х с функцией распределения F(X), где общий вид F(X) считается известным.

Наиболее часто в статистике используют критерии согласия Пирсона и Колмогорова .

При решении задач в общей теории статистики обычно выдвигается гипотеза о нормальном нормированном законе распределения признака генеральной совокупности. Следовательно, алгоритм применения критерия Пирсона модифицируется следующим образом:

1. расчёт среднего значения по вариационному признаку;

2. расчёт среднеквадратичного отклонения по выборке;

3. расчёт ;

4. расчёт при помощи справочной таблицы;

5. расчёт , при чём ;

6. расчёт наблюдаемого значения критерия Пирсона:

. (1.31)

7. вычисляется число степеней свободы , где m – число интервалов выборки; r – сумма числа параметров предполагаемого распределения (для нормального нормированного распределения );

8. выбирается уровень значимости ;

9. из таблицы при степени свободы и уровне значимости выбирается критическое значение критерия , которое сравнивается с .

Критическим значением критерия Пирсона называют его максимальное значение при условии случайного происхождения отклонений между теоретическими и эмпирическими частотами.

Если , следует считать несущественным расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами. В этом случае гипотеза о распределении признака генеральной совокупности по предполагаемому закону подтверждается.

Если > , то отклонения между эмпирическими и теоретическими частотами следует считать существенными.

При решении задач в общей теории статистики обычно выдвигается гипотеза о нормальном нормированном законе распределения признака генеральной совокупности. Следовательно, алгоритм применения критерия Колмогорова модифицируется следующим образом:

1. расчёт среднего значения вариационного признака;

2. расчёт среднеквадратичного отклонения по выборке;

3. расчёт ;

4. расчёт при помощи справочной таблицы;

5. расчёт накопленных частот;

6. расчёт эмпирической функции распределения ;

7. расчёт значений ;

8. нахождение ;

9. вычисляют наблюдаемое значение критерия Колмогорова () :

. (1.32)

10. по заданному уровню значимости из справочных таблиц находят критическое значение критерия Колмогорова .

Критическим значением критерия Колмогорова называют его максимальное значение при условии случайного происхождения отклонений между теоретическими и эмпирическими частотами;

11. если , то наблюдаемые данные хорошо согласуются с теоретическим распределением; если , то проверяемая гипотеза отклоняется.