3. Показатели формы распределения

О распределении значений признака в совокупности судят по его весам (частотам).

Охарактеризовать распределение значений признака в совокупности можно двумя способами:

1) Табличный способ;

2) Графический способ.

Табличный способ. Способ заключается в представлении изучаемой совокупности в виде вариационного ряда и анализе распределения значений признака по его частотам (абсолютным, относительным, нормированным, кумулятивным).

Графический способ. Графический способ заключается в графическом изображении распределения значений признака в совокупности по данным вариационного ряда.

Графическое распределение значений признака может быть представлено в виде следующих видов графиков – гистограмма частот (применяется для изображения распределения значений признака в интервальных рядах); полигон частот – (применяется для изображения распределения значений признака в интервальных и дискретных рядах); кумулята и огива – (применяется для изображения распределения значений признака в интервальных и дискретных рядах).

Достоинством графического метода является его наглядность и возможность оценки формы распределения значений признака в совокупности.

Классификация форм распределения значений признака в совокупности:

1) по количеству вершин:

- одновершинные;

- двухвершинные;

- много вершинные.

Распределение качественно однородных совокупностей, как правило одновершинные.

2) по симметричности:

- симметричные;

- асимметричные.

3) по виду асимметричности:

- с левосторонней асимметрией (вершина смещена вправо);

- с правосторонней асимметрией (вершина смещена влево).

4) по эксцессу (крутости) распределения:

- нормальные;

- плосковершинные;

- островершинные.

Для характеристики формы распределения значений признака в совокупности в статистике используют:

1) среднее значение признака (), моду (M_o) (медиану (M_e));

2) коэффициенты асимметрии;

3) показатели асимметрии и эксцесса.

1) Если = M_o (M_e) – распределение является симметричным.

Если > M_o (M_e) - имеет место правосторонняя асимметрия.

Если < M_o (M_e) – имеет место левосторонняя асимметрия.

Недостатком этих показателей является то, что с их помощью невозможно оценить степень асимметрии распределения, а также эксцесс.

2) Степень асимметрии можно оценить с помощью коэффициентов асимметрии:

K^a₁ = ( - M_o) / ;

K^a₂ = ( - M_e) / ; (1.22)

Коэффициенты асимметрии характеризуют направление и меру скошенности распределения.

Если K^a₁ (K^a₂) = 0 – распределение является симметричным.

Если K^a₁ (K^a₂) > 0 - имеет место правосторонняя асимметрия.

Если K^a₁ (K^a₂) < 0 – имеет место левосторонняя асимметрия.

Недостатком коэффициентов асимметрии является то, что с их помощью нельзя оценить эксцесс.

3) Показатели асимметрии и эксцесса.

В качестве обобщающих характеристик распределения в статистике используют моменты распределения.

Моментом распределения называют среднюю арифметическую k– той степени отклонений значений признака от постоянной величины (x_i- A).

- простой: ; (1.23)

- взвешенный: . (1.24)

В зависимости от постоянной величины (A) моменты распределения делятся:

- первичные (A = 0);

- центральные (A = );

- условные (A = const).

Степень k определяет порядок момента.

Рассмотрим некоторые моменты распределения:

а) первичный момент первого порядка – это среднее значение признака (средняя арифметическая);

б) первичный момент второго порядка – это средний квадрат значений признака;

в) центральный момент второго порядка – это дисперсия;

г) центральный момент третьего порядка – характеризует асимметрию;

д) центральный момент четвертого порядка – характеризует эксцесс.

Показатель асимметрии рассчитывается следующим образом:

. (1.25)

Если , то распределение имеет правостороннюю асимметрию, - левостороннюю асимметрию, , распределение симметрично.

Если a_s < 0.25 – низкая асимметрия.

Если 0.25 <a_s > 0.50 – средняя асимметрия;

Если a_s > 0.50 – высокая асимметрия.

Показатель эксцесса рассчитывается по следующей формуле:

. (1.26)

Если E_x = 3 – нормальное распределение.

Если E_x > 3 – островершинное распределение.

Если E_x < 3 – плосковершинное распределение.