- •Функции многих переменных.
- •Предел, непрерывность.
- •Полное приращение и полный дифференциал функции.
- •Дифференцирование сложных функций.
- •Производная неявной функции.
- •Формула Тейлора.
- •Повторное дифференцирование.
- •Экстремум функции двух переменных.
- •Достаточное условие экстремума.
- •Уравнения кривой в пространстве.
- •Производная вектор-функции скалярного аргумента. Уравнения касательной к кривой в пространстве.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Дифференцирование сложных функций.
Рассмотрим функцию z = F(u, v) и предположим, что u = φ(x, y), v = ψ(x, y). В этом случае z является сложной функцией от x и y. Найдем предполагая, что функции F(u, v), φ(x, y) и ψ(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам. Дадим х приращение Δx. Тогда u и v получат приращения Δxu, Δxv, z получит приращение Δz.
Эти формулы обобщаются на случай большего числа переменных.
Рассмотрим z =f(t, x, y) и пусть x = x(t), y = y(t). Тогда является функцией от одной переменной t.
Производная неявной функции.
Рассмотрим неразрешенное относительно z уравнение
F(x,y,z) = 0 (*)
Это уравнение определяет z как неявную функцию относительно x и y z = z(x, y). Найдем Зафиксируем y и продифференцируем (*) по x, учитывая, что z зависит от х (по правилу дифференцирования сложной функции).
Формула Тейлора.
Для функции одной переменной имеем
Рассмотрим функцию f(x, y). Положим x = a + t Δx, y = b + t Δy. Здесь a, b, Δx и Δy – фиксированные значения, t – переменная величина. Тогда функция f(a + t Δx, b + t Δy) становится функцией только одной переменной t . Формула Тейлора для нее принимает вид (n = 2)
Дифференциал второго порядка.
- полный дифференциал первого порядка.
d(dz) =d2z – дифференциал второго порядка.
d2z = - дифференциал второго порядка от функции двух переменных z = f (x, y)/
Повторное дифференцирование.
Рассмотрим функцию z = f(x, y). Найдем
От этих производных можно также найти производные
Аналогично находятся производные более высоких порядков.
Например, z = x3 – 4x2y + 5y2,
Теорема.Если функция z = f(x, y) и ее частные
производные f′x , f′y, f′′xy, f′′yx непрерывны в точке (х,у)
то
Из этой теоремы вытекает, что
Экстремум функции двух переменных.
О п р е де л е н и е 1. Функция z = f(x, y) имеет максимум в точке M0(x0, y0), (т.е. при x = x0, y = y0), если
f(x0, y0) > f(x, y)
для всех точек (x, y), достаточно близких к точке (x0, y0).
z
,
f(x0,y0) f(x,y)
y
(x,y)
x (x0,y0)
О п р е де л е н и е 2. Функция z = f(x, y) имеет минимум в точке M0(x0, y0), (т.е. при x = x0, y = y0), если
f(x0, y0) < f(x, y)
для всех точек (x, y), достаточно близких к точке (x0, y0).
Z
f(x,y) f(x0,y0)
y
x
П р и м е р . z = x2 + y2. Точка x = y = 0 – точка минимума, т.к. в этой точке z = 0, и z > 0 при всех x ≠ 0 , y ≠ 0 .
Теорема (необходимое условие экстремума).
Если функция y = f(x, y) имеет экстремум при x = x0, y = y0, то ее частные производные первого порядка в этой точке либо равны нулю, либо не существуют.
Пусть в точке P0(x0, y0) функция z = f(x, y) имеет
максимум. Зафиксируем y = y0 и рассмотрим
z = f(x, y0). Это функция одной переменной и у нее
точка x = x0 является точкой максимума.
y0 y Следовательно, f′x(x0, y0) либо равна нулю, либо не
x0 существует.
x P0
Зафиксируем x = x0 и рассмотрим z = f(x0, y). Точка y = y0 является точкой максимума. Следовательно, f′y(x0, y0) либо равна нулю, либо не существует.
Это условие является только необходимым, но не является достаточным.
П р и м е р . z = x y. z′x= y, z′y = x. Очевидно, z′x= z′y = 0 при x = y = 0. При этом z = 0.
Но в любой окрестности точки (0, 0) z > 0, если x и y
y одного знака и z < 0, еcли x и y разных знаков.
Следовательно, в точке (0, 0) экстремума нет.
--
x