5. Ізоморфізми та гомоморфізми алгебраїчних структур

Завдання 5.

1. Довести, що експоненціальна функція є гомоморфізмом (і навіть ізоморфізмом) адитивної групи в мультиплікативну групу .

2. Довести, що .

3. Довести, що кільце чисел вигляду , де – цілі числа, ізоморфне кільцю матриць вигляду , .

4. Довести, що відображення є гомоморфізмом адитивної групи комплексних чисел на адитивну групу дійсних чисел.

5. Довести, що поле матриць , де – раціональні числа, ізоморфне полю чисел вигляду , де – раціональні числа

6. Довести, що .

7. Довести, що множина матриць є групою відносно операції множення матриць, ізоморфною циклічній групі 6-го порядку.

8. Довести, що , де , .

9. Довести, що відображення кільця діагональних матриць на кільце дійсних чисел, що задається співвідношенням для будь-яких , є гомоморфізмом

10. Довести, що , де , .

6. Векторні простори. Алгебри

Завдання 6. Перевірити, чи утворює підпростір в арифметичному -вимірному просторі система векторів:

1. всі вектори, в яких перша і остання координати рівні між собою;

2. всі вектори, сума координат кожного з яких дорівнює 0;

3. всі вектори, в кожного з яких координати з парними (непарними) номерами дорівнюють 0;

4. всі вектори, в кожного з яких координати з парними номерами рівні між собою;

5. всі вектори, сума координат кожного з яких дорівнює 1;

6. всі вектори, координати яких – цілі числа;

7. всі вектори, в кожного з яких всі координати рівні між собою;

8. всі вектори, в кожного з яких кожна координата, починаючи з другої, дорівнює попередній, взятій з протилежним знаком;

9. всі вектори, в кожного з яких кожна координата, починаючи з другої, відрізняється від попередньої на множник ;

10. всі вектори, в кожного з яких кожна координата, починаючи з другої, дорівнює квадрату попередньої.

У випадку позитивної відповіді, знайти базис і розмірність відповідного підпростору.

Завдання 7.

1) В двовимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

.

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. Знайти обернений до вектора .

5. Довести, що множина утворює групу, ізоморфну циклічній групі .

2) В тривимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

·

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. Знайти обернений до вектора .

5. Довести, що множина утворює групу, ізоморфну циклічній групі . Вказати одиницю і твірний цієї групи.

3) В тривимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

·

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. Знайти обернений до вектора .

4) В тривимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

·

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. Знайти обернений до вектора .

5) В тривимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

·

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. Знайти обернений до вектора .

6) В двовимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

.
		0

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. Знайти обернений до вектора .

7) В чотиривимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

·

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. Знайти обернений до вектора .

5. Довести, що множина утворює групу, ізоморфну циклічній групі . Вказати одиницю і твірний цієї групи.

8) В тривимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

·

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. Знайти обернений до вектора .

9) В тривимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

·

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. Знайти обернений до вектора .

10) В чотиривимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

·

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. Знайти обернений до вектора .

ІІІ. Порядок виконання роботи.

1. Вивчити короткі теоретичні відомості про основні алгебраїчні структури..

2. Розв’язати задачі згідно варіантам.

3. Скласти звіт, приєднавши отримані результати.

Вимоги до звіту.

У звіті мають бути приведені:

Вихідні дані (варіанти завдань);

результати і проміжні дані з необхідними поясненнями.

Література:

1. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра. В 2-х т. Т.1 – М.: Гелиос, 2003. – 336с.