- •Лабораторне заняття 2 Тема: Основні алгебраїчні структури
- •1. Бінарні алгебраїчні операції
- •Властивості бінарних алгебраїчних операцій
- •2. Групи
- •3. Кільця
- •4. Поля
- •5. Ізоморфізми та гомоморфізми алгебраїчних структур
- •6. Векторні простори. Алгебри
- •Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного простору називається вектор вигляду
- •1. Бінарні алгебраїчні операції
- •2. Групи
- •Групи підстановок
- •4. Кільця і поля
- •5. Ізоморфізми та гомоморфізми алгебраїчних структур
- •6. Векторні простори. Алгебри
3. Кільця
Означення. Непорожня множина , на якій визначені дві бінарні алгебраїчні операція + (додавання) і (множення), називається кільцем, якщо виконуються наступні умови (аксіоми кільця):
К1. – абелева група:
-
Операція + асоціативна:
;
-
в множині існує нульовий елемент : ;
-
для кожного елемента існує протилежний елемент :
.
-
операція + комутативна: .
К2. – півгрупа:
-
операція асоціативна: ;
К3. Операція (множення) дистрибутивна зліва і справа відносно операції+(додавання):
-
;
;
Кільце позначається або просто .
Алгебраїчна структура називається адитивною групою кільця, а – його мультиплікативною півгрупою.
Означення. Кільце називається комутативним, якщо операція (множення) є комутативною, тобто
.
Означення. Кільце називається кільцем з одиницею, якщо в існує одиничний елемент , відмінний від нульового, тобто
Означення. Непорожня підмножина кільця називається підкільцем кільця , якщо є кільцем відносно алгебраїчних операцій, заданих в .
Теорема (критерій підкільця). Для того, щоб непорожня множина кільця була підкільцем цього кільця, необхідно і достатньо, щоб сума, різниця і добуток будь-яких двох елементів підмножини містилися в .
В теорії кілець особливу роль, аналогічну ролі нормальних дільників для груп, відіграють підкільця, які називаються ідеалами.
Означення. Непорожня підмножина кільця називається лівим (відповідно правим) ідеалом кільця , якщо:
1) є підгрупою адитивної групи кільця ;
2) для будь-який елементів і добуток (відповідно ) міститься в .
Підмножина кільця , яка є одночасно лівим і правим ідеалом цього кільця, називається двостороннім ідеалом або просто ідеалом кільця .
Теорема (про фактор-кільце). Множина всіх класів лишків кільця за ідеалом відносно операцій додавання і множення, визначених наступним чином:
;
,
є кільцем. Це кільце називається фактор-кільцем кільця за ідеалом (за модулем ) і позначається .
4. Поля
Означення 1. Непорожня множина , що містить не менше двох елементів, на якій визначені дві бінарні алгебраїчні операція + (додавання) і (множення), називається полем, якщо виконуються наступні умови (аксіоми поля):
-
операція + асоціативна на : ;
-
в множині існує нульовий елемент : ;
-
для кожного елемента існує протилежний елемент :
.
-
операція + комутативна на : .
-
операція асоціативна на : ;
-
операція дистрибутивна зліва і справа відносно операції+:
;
;
-
в множині існує одиничний елемент :
-
для кожного ненульового елемента існує в обернений до нього елемент :
.
-
операція комутативна на : ;
Запишемо означення поля, використовуючи означення кільця.
Означення 1′. Непорожня множина , що містить не менше двох елементів, на якій визначені дві бінарні алгебраїчні операція + (додавання) і (множення), називається полем, якщо виконуються наступні умови (аксіоми поля):
1) – комутативне кільце з одиницею 1;
2) для кожного ненульового елемента існує в обернений до нього елемент :
.
Отже, поле – це комутативне кільце з одиницею 1, в якому кожний елемент має обернений.
Група називається мультиплікативною групою поля.
Поле являє собою поєднання на одній і тій самій множині двох абелевих груп – адитивної групи і мультиплікативної , зв'язаних дистрибутивним законом (тепер вже одним, з-за комутативності).
Означення. Непорожня підмножина поля називається підполем поля , якщо є полем відносно алгебраїчних операцій, заданих в .
Теорема (критерій підполя). Для того, щоб підмножина поля , яка містить не менше двох елементів, була підполем цього поля, необхідно і достатньо, щоб сума, різниця, добуток і частка будь-яких двох елементів підмножини містилися в .
Означення. Поле, яке не має ніякого власного підполя, називається простим.
Теорема. Кожне поле містить одне і тільки одне просте поле , яке ізоморфне або полю , або полю для деякого простого .
Означення. Кажуть, що поле має характеристику нуль, якщо його просте підполе ізоморфне полю . Кажуть, що поле простої (або скінченної) характеристики , якщо його просте підполе ізоморфне полю . Відповідно пишуть або .
Скінченні прості поля характеристики називають полями Галуа.