2. Групи

Завдання 2.

1. Довести, що множина всіх цілих чисел, які діляться на 3, є абелевою групою відносно операції додавання.

2. Довести, що множина всіх поворотів кола навколо свого центра є групою відносно операції композиції поворотів.

3. Довести, що множина матриць є групою відносно операції множення матриць.

4. Довести, що множина перетворень є групою відносно операції композиції перетворень.

5. Довести, що множина матриць є групою операції відносно множення матриць.

6. Довести, що множина перетворень є абелевою групою відносно операції композиції перетворень.

7. Довести, що множина матриць є групою відносно операції множення матриць.

8. Довести, що множина всіх раціональних чисел, відмінних від 0, є групою відносно операції , визначеної правилом .

9. Довести, що множина всіх векторів площини є абелевою групою відносно операції додавання векторів.

10. Довести, що множина матриць є групою відносно операції множення матриць.

Групи підстановок

Завдання 3.

1. Визначити порядки елементів і симетричної групи підстановок третього степеня.

2. Довести, що симетрична група підстановок сьомого степеня породжується множиною .

3. В симетричній групі підстановок знайти підгрупу , якщо .

4. Довести, що симетрична група підстановок сьомого степеня породжується множиною .

5. В симетричній групі підстановок знайти добуток елементів

і .

6. В симетричній групі підстановок знайти підгрупу і записати правий суміжний клас за цією підгрупою.

7. Перевірити, що підгрупа симетричної групи підстановок є нормальною.

8. В симетричній групі підстановок знайти добуток елементів

і .

9. В симетричній групі підстановок знайти підгрупу і записати лівий суміжний клас за цією підгрупою.

10. В симетричній групі підстановок знайти добуток елементів, записаних у вигляді циклів: , .

11. Знайти всі підгрупи циклічної групи .

4. Кільця і поля

Завдання 4.

1. Довести, що множина всіх комплексних чисел вигляду , де – раціональні числа, є полем. (Числа такого вигляду називають раціональними ейзенштейновими числами.)

2. Довести, що множина з операціями + і , заданими таблицями Келі:

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

.	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	0
3	0	3	0	1

є комутативним кільцем з одиницею.

3. Довести, що множина 2х2-матриць вигляду , де – раціональні числа, є полем.

4. Довести, що множина всіх дійсних чисел вигляду , де – цілі числа, є комутативним кільцем з одиницею.

5. Довести, що множина всіх цілих чисел виду , де , є полем.

6. Довести, що множина всіх комплексних чисел вигляду , де – раціональні, є комутативним кільцем з одиницею.

7. Довести, що множина з операціями, визначеними рівностями:

,

,

є полем. Яку характеристику має це поле?

8. Довести, що множина 2х2-матриць вигляду , де – дійсні числа, є кільцем відносно звичайних операцій додавання і множення матриць.

9. Довести, що множина з операціями + і , заданими таблицями Келі:

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

.	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

є полем. Яку характеристику має це поле?

10. Довести, що множина 2х2-матриць

є комутативним кільцем.