5. Ізоморфізми та гомоморфізми алгебраїчних структур

Означення. Нехай – алгебраїчна операція, задана на множині , – алгебраїчна операція, задана на множині , – відображення множини в множину . Кажуть, що відображення зберігає алгебраїчну операцію , якщо для будь-яких елементів справедливо

.

Означення. Дві групи і називаються гомоморфними, якщо існує відображення , при якому зберігається групова операція, тобто таке, що:

;

Відображення, що задовольняє називається гомоморфізмом.

Означення. Дві групи і називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення , при якому зберігається групова операція, тобто таке, що:

1) ;

2) – бієкція.

Відображення, що задовольняє умовам 1) і 2), називається ізоморфізмом.

Факт ізоморфізму груп позначається символічно .

Теорема (Келі). Будь-яка скінченна група порядку ізоморфна деякій підгрупі симетричної групи .

Означення. Два кільця і називаються гомоморфними, якщо існує відображення , при якому зберігаються операції, тобто таке, що:

1) ;

2) ;

3)

,

.

Відображення, що задовольняє умові, називається гомоморфним відображенням, або просто гомоморфізмом.

Означення гомоморфізму кілець можна сформулювати й іншим чином:

Означення. Два кільця і називаються гомоморфними, якщо існує гомоморфізм адитивної групи кільця на адитивну групу кільця , що зберігає операцію множення.

Означення. Два кільця і називаються ізоморфними, якщо існує гомоморфне взаємно однозначне відображення.

Факт ізоморфізму кілець і позначається символічно .

Означення. Два поля і називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як кільця.

6. Векторні простори. Алгебри

Означення. Множина називається векторним (лінійним) простором, якщо в визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля , причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):

1. – асоціативність додавання;

2. – комутативність додавання ;

3. : – існування нульового елемента ;

4. : – існування протилежного елемента;

5. – асоціативність множення на число;

6. .

7. – дистрибутивність відносно додавання чисел ;

8. – дистрибутивність відносно додавання елементів;

Елементи векторного простору називаються векторами, елемент називається нульовим вектором (нуль-вектором).

Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного простору називається вектор вигляду

. (1)

де – деякі числа з поля

Означення. Система векторів векторного простору називається лінійно залежною, якщо існують числа , які не всі водночас дорівнюють нулю (), такі що

(2)

Система векторів називається лінійно незалежною, якщо остання рівність виконується тільки в одному випадку , коли

Означення. Впорядкована система векторів називається базисом векторного простору , якщо

1) вона лінійно незалежна;

2) кожен вектор простору лінійно виражається через вектори цієї системи, тобто .

Означення. Векторний простір називається -вимірним, якщо в ньому існує базис з елементів. Число називається розмірністю простору і позначається .

Теорема (про зв'язок між базисом і розмірністю). Система векторів утворює в просторі розмірності базис тоді і тільки тоді, коли вона лінійно незалежна, а число векторів в ній дорівнює розмірності простору .

Якщо – деякий базис векторного простору , то будь-який вектор можна розкласти за цим базисом, тобто подати у вигляді

де – деякі дійсні числа, причому єдиним чином.

Означення. Непорожня підмножина векторного простору називається підпростором простору , якщо воно є векторним простором відносно операцій, визначених в .

Теорема (критерій підпростору). Непорожня підмножина векторного простору є підпростором простору оді і тільки тоді, коли виконується наступні умови:

1. Якщо , то ;

2. Якщо , то .

Означення. Алгеброю (лінійною алгеброю) над полем називається векторний простір , в якому визначена алгебраїчна операція множення векторів, причому виконані наступні умови (аксіоми алгебри):

1. – асоціативність множення;

2. – дистрибутивність справа відносно додавання векторів;

– дистрибутивність зліва відносно додавання векторів;

3. – дистрибутивність відносно множення на число.

Можна дати інше означення алгебри, яке використовує поняття кільця:

Означення. Алгеброю (лінійною алгеброю) над полем називається кільце з одиницею, яке водночас є векторним простором над полем .

При цьому аксіома 3 зв'язує множення на елементи з поля з множенням в кільці.

Означення. Дві алгебри і називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне лінійне відображення (ізоморфізм) векторного простору на векторний простір , яке зберігає операцію множення, тобто таке, що для будь-яких елементів

Очевидно, що існування ізоморфізму рівносильне тому, що в алгебрах і можна вибрати базиси з однаковими таблицями множення.

Означення. Зображенням скінченновимірної алгебри над полем в скінченновимірному просторі над полем називається гомоморфізм алгебри в алгебру лінійних операторів (автоморфізми) простору

,

тобто відображення, яке задовольняє умовам: для будь-яких ,

1) ;

2) ;

3) ;

4) , де – тотожний оператор.

Означення. Матричним зображенням степеня скінченновимірної алгебри над полем називається гомоморфізм алгебри в алгебру квадратних матриць порядку .

ІІ. Практичні завдання.