6. Векторні простори. Алгебри

Завдання 6. Перевірити, чи утворює підпростір в арифметичному -вимірному просторі система векторів:

всі вектори, в кожного з яких кожна координата дорівнює різниці з фіксованою -ю координатою,

Розв’язання. Нехай – множина всіх векторів, в кожного з яких кожна координата дорівнює різниці з фіксованою -ю координатою, . Оскільки всі елементи множини – є елементами -вимірного арифметичного простору , то достатньо показати, що – підпростір векторного простору . Для цього достатньо довести замкненість лінійних операцій над векторами з множини .

1) Нехай . Тоді ,

. Перевіримо, що .

.

Отже .

2) Нехай , . Тоді . Перевіримо, що .

.

Отже, .

Таким чином, – підпростір векторного простору (за критерієм підпростору).

Завдання 7. (Алгебра кватерніонів)

В чотиривимірному векторному просторі над полем з базисом визначено операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

.
		–1
			–1
				–1

1. Знайти результат множення .

2. Знайти зображення (образ) вектора в алгебрі .

3. Знайти детермінант матричного образу вектора .

4. називається спряженим до . Перевірити, що , , і що (норма).

5. Знайти обернений до вектора .

Розв’язання.

1) Знайдемо результат множення, використовуючи таблицю множення базисних векторів:

2) Знайдемо зображення (образ) вектора в алгебрі -матриць . Спочатку знайдемо зображення базисних векторів:

, ,

, .

Отже,

.

3) Знайдемо детермінант матричного образу вектора .

Для знаходження детермінанту помножимо матрицю на їй транспоновану:

Детермінант останньої матриці дорівнює . Звідси випливає, що

4) Нехай , .

Перевіримо, що :

.

Перевіримо, що :

.

5) Оскільки ,а

, то

.

Використана література:

1. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра. В 2-х т. Т.1 – М.: Гелиос, 2003. – 336с.

2. Коробейников А.Г. Математические основы криптографии. – СПб:СПб ГИТМО, 2002 – 41 с.

3. Матемтические и компьютерные основы криптологии: Уч. пос. / Ю.С. Харин, В.И. Берник, Г.В. Матвеев, С.В. Агиевич. – МН.: Новое зниние, 2003. – 382 с.