- •Виконав(ла): студент(ка) бсдм(с)(убдм(с)) – 51
- •Властивості бінарних алгебраїчних операцій
- •2. Групи
- •3. Кільця
- •4. Поля
- •5. Ізоморфізми та гомоморфізми алгебраїчних структур
- •6. Векторні простори. Алгебри
- •Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного простору називається вектор вигляду
- •1. Бінарні алгебраїчні операції
- •2. Групи
- •Симетрична і знакозмінна групи
- •3,4. Кільця і поля
- •5. Ізоморфізми та гомоморфізми алгебраїчних структур
- •6. Векторні простори. Алгебри
5. Ізоморфізми та гомоморфізми алгебраїчних структур
Означення. Нехай – алгебраїчна операція, задана на множині , – алгебраїчна операція, задана на множині , – відображення множини в множину . Кажуть, що відображення зберігає алгебраїчну операцію , якщо для будь-яких елементів справедливо
.
Означення. Дві групи і називаються гомоморфними, якщо існує відображення , при якому зберігається групова операція, тобто таке, що:
;
Відображення, що задовольняє називається гомоморфізмом.
Означення. Дві групи і називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення , при якому зберігається групова операція, тобто таке, що:
1) ;
2) – бієкція.
Відображення, що задовольняє умовам 1) і 2), називається ізоморфізмом.
Факт ізоморфізму груп позначається символічно .
Теорема (Келі). Будь-яка скінченна група порядку ізоморфна деякій підгрупі симетричної групи .
Означення. Два кільця і називаються гомоморфними, якщо існує відображення , при якому зберігаються операції, тобто таке, що:
1) ;
2) ;
3)
,
.
Відображення, що задовольняє умові, називається гомоморфним відображенням, або просто гомоморфізмом.
Означення гомоморфізму кілець можна сформулювати й іншим чином:
Означення. Два кільця і називаються гомоморфними, якщо існує гомоморфізм адитивної групи кільця на адитивну групу кільця , що зберігає операцію множення.
Означення. Два кільця і називаються ізоморфними, якщо існує гомоморфне взаємно однозначне відображення.
Факт ізоморфізму кілець і позначається символічно .
Означення. Два поля і називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як кільця.
6. Векторні простори. Алгебри
Означення. Множина називається векторним (лінійним) простором, якщо в визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля , причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):
1. – асоціативність додавання;
2. – комутативність додавання ;
3. : – існування нульового елемента ;
4. : – існування протилежного елемента;
5. – асоціативність множення на число;
6. .
7. – дистрибутивність відносно додавання чисел ;
8. – дистрибутивність відносно додавання елементів;
Елементи векторного простору називаються векторами, елемент називається нульовим вектором (нуль-вектором).
Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного простору називається вектор вигляду
. (1)
де – деякі числа з поля
Означення. Система векторів векторного простору називається лінійно залежною, якщо існують числа , які не всі водночас дорівнюють нулю (), такі що
(2)
Система векторів називається лінійно незалежною, якщо остання рівність виконується тільки в одному випадку , коли
Означення. Впорядкована система векторів називається базисом векторного простору , якщо
1) вона лінійно незалежна;
2) кожен вектор простору лінійно виражається через вектори цієї системи, тобто .
Означення. Векторний простір називається -вимірним, якщо в ньому існує базис з елементів. Число називається розмірністю простору і позначається .
Теорема (про зв'язок між базисом і розмірністю). Система векторів утворює в просторі розмірності базис тоді і тільки тоді, коли вона лінійно незалежна, а число векторів в ній дорівнює розмірності простору .
Якщо – деякий базис векторного простору , то будь-який вектор можна розкласти за цим базисом, тобто подати у вигляді
де – деякі дійсні числа, причому єдиним чином.
Означення. Непорожня підмножина векторного простору називається підпростором простору , якщо воно є векторним простором відносно операцій, визначених в .
Теорема (критерій підпростору). Непорожня підмножина векторного простору є підпростором простору оді і тільки тоді, коли виконується наступні умови:
-
Якщо , то ;
-
Якщо , то .
Означення. Алгеброю (лінійною алгеброю) над полем називається векторний простір , в якому визначена алгебраїчна операція множення векторів, причому виконані наступні умови (аксіоми алгебри):
1. – асоціативність множення;
2. – дистрибутивність справа відносно додавання векторів;
– дистрибутивність зліва відносно додавання векторів;
3. – дистрибутивність відносно множення на число.
Можна дати інше означення алгебри, яке використовує поняття кільця:
Означення. Алгеброю (лінійною алгеброю) над полем називається кільце з одиницею, яке водночас є векторним простором над полем .
При цьому аксіома 3 зв'язує множення на елементи з поля з множенням в кільці.
Означення. Дві алгебри і називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне лінійне відображення (ізоморфізм) векторного простору на векторний простір , яке зберігає операцію множення, тобто таке, що для будь-яких елементів
Очевидно, що існування ізоморфізму рівносильне тому, що в алгебрах і можна вибрати базиси з однаковими таблицями множення.
Означення. Зображенням скінченновимірної алгебри над полем в скінченновимірному просторі над полем називається гомоморфізм алгебри в алгебру лінійних операторів (автоморфізми) простору
,
тобто відображення, яке задовольняє умовам: для будь-яких ,
1) ;
2) ;
3) ;
4) , де – тотожний оператор.
Означення. Матричним зображенням степеня скінченновимірної алгебри над полем називається гомоморфізм алгебри в алгебру квадратних матриць порядку .
ІІ. Практичні завдання.