Симетрична і знакозмінна групи

Завдання 2. В симетричній групі підстановок знайти добуток елементів, записаних у вигляді циклів: , .

Розв'язання.

.

3,4. Кільця і поля

Завдання 3.

1. Довести, що множина всіх чисел виду , де , , є кільцем відносно звичайних операцій додавання і множення.

Доведення. Нехай і – два довільних елементи з множини . Тоді , , де . Маємо:

,

де , .

,

де , .

Оскільки , то і , тобто додавання і множення є алгебраїчними операціями на множині .

Аксіоми асоціативності, комутативності операцій додавання і множення, дистрибутивності множення відносно додавання виконуються на множині , оскільки виконуються для будь-яких комплексних чисел.

Нульовий елемент і одиничний елемент належать, очевидно, множині .

Якщо – довільне число з , то протилежне до нього число належить множині .

Таким чином, – комутативне кільце з одиницею. Його називають кільцем цілих гауссових чисел.

2. Довести, що множина чисел вигляду , де – раціональні числа, є полем.

Доведення.

Доведемо спочатку, що множина є кільцем.

Оскільки множина є підмножиною кільця дійсних чисел, то можна скористатися критерієм підкільця.

Нехай , – два довільні елементи із . Тоді – раціональні числа, і отже,

,

оскільки , ;

,

оскільки , ;

,

оскільки , .

В силу критерію підкільця, – підкільце кільця , а отже, кільце.

Оскільки , то – комутативне кільце з одиницею.

Нехай – довільний ненульовий елемент з , тобто такий, що , і нехай – такий елемент з , що

. (1)

Покажемо, що міститься в . Виконавши операцію множення в лівій частині рівності (1), отримуємо:

,

звідси

.

Отримана рівність еквівалентна системі лінійних алгебраїчних рівнянь:

Розв’язавши дану систему, будемо мати:

Оскільки , то і , значить,

.

Отже, числа і за даними числами і завжди можна визначити, причому . Значить, . Таким чином, для кожного ненульового елемента із завжди існує в обернений до нього елемент:

.

Отже, множина чисел вигляду , де – раціональні числа, є полем.

5. Ізоморфізми та гомоморфізми алгебраїчних структур

Завдання 4.

1. Довести, що адитивна група ізоморфна мультиплікативній групі всіх цілих степенів числа 2.

Доведення. Щоб довести, що групи і , де , ізоморфні, треба вказати хоча б один ізоморфізм .

Зіставимо кожному . Тоді .

Перевіримо, що – ізоморфізм.

1) – сюр‘єкція

2) – ін‘єкція

Отже, – бієкція.

Перевіримо, що зберігає групову операцію, тобто

.

Дійсно, .

Таким чином, відображення таке, що є ізоморфізмом груп.

2. Довести, що група всіх симетрій правильного трикутника ()див. завдання 1) ізоморфна симетричній групі .

Доведення. Всім шести перетворенням симетрії відповідають перестановки на множині вершин трикутника.

Нехай – множина вершин трикутника, – симетрична група 3-го степеня.

Складемо таблицю Келі для групи :

.

Бачимо, що таблиці Келі для групи всіх симетрій правильного трикутника і симетричної групі мають однакову структуру. Це означає, що відображення: :

, , , , ,

є ізоморфізмом груп.

Таким чином, .

3. Довести, що кільце цілих гауссових чисел ізоморфне кільцю матриць вигляду , де – цілі числа.

Доведення. Поставимо у відповідність елементу матрицю

Цим задане відображення кільця на кільце . Покажемо, що є взаємно однозначним відображенням кільця на кільце .

Нехай , – довільні два елементи із такі, що . тоді або , або і . Отже,

Покажемо, що зберігає операції додавання і множення. Нехай , – довільні два елементи із . Тоді:

;

;

.

З останніх двох рівностей випливає, що . Таким чином, .

4. Довести, що .

Доведення. – кільце класів лишків за модулем 6. Складемо таблиці Келі для операцій кільця :

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

.	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

– головний ідеал кільця .

– факторкільце кільця за ідеалом . Складемо таблицю Келі для операцій кільця :

.	0	3
0	0	0
3	0	3

+	0	3
0	0	3
3	3	0

– кільце класів лишків за модулем 2. Складемо таблиці Келі для операцій кільця :

.	0	1
0	0	0
1	0	1

+	0	1
0	0	1
1	1	0

Бачимо, що таблиці Келі для кільця і кільця мають однакову структуру. Це означає, що відображення: : , , є ізоморфізмом кілець.

Таким чином, .