1. Бінарні алгебраїчні операції

Завдання 1. У множині задано бінарну операцію так, що є остачею від ділення добутку на число 4.

а) Задати бінарну операцію таблицею Келі.

б) Визначити властивості операції ;

в) Визначити елементи, виділені відносно операції .

Розв'язання. а) Таблиця Келі для операції у множині має вигляд:

	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

б) Властивості операції :

Операція у множині є комутативною, оскільки її таблиця Келі симетрична відносно діагоналі.

в) Визначити елементи, виділені відносно операції .

Щоб визначити нейтральний елемент, знайдемо стовпець таблиці Келі, що цілком збігається з початковим. В таблиці для операції такий стовпець є, і йому відповідає елемент 1. Отже, елемент 1 є нейтральним відносно операції .

Щоб визначити існування симетричного елемента для даного, рухаємося по рядку, який відповідає даному елементу, до нейтрального елемента. Зверху, у початковому рядку, напроти нейтрального елемента знаходиться шуканий симетричний.

Для елемента 2 не існує симетричного, оскільки 20=22=0 і 21=23=2.

2. Групи

Завдання 2.

1. Довести, що множина всіх цілих степенів числа 2 є групою відносно операції множення.

Доведення. Нехай – множина всіх цілих степенів числа 2. Операція множення степенів числа 2 є алгебраїчною, тому що

Перевіримо аксіоми групи.

1) Операція множення степенів числа 2 є асоціативною (властивості степенів).

2) Нейтральний елемент .

3) Симетричний елемент .

Таким чином, – група. □

2. Довести, що множина всіх симетрій правильного трикутника є групою відносно операції композиції симетрій. Скласти таблицю Келі.

Доведення. Множина всіх симетрій правильного трикутника складається з тотожного перетворення , поворотів , і трьох осьових симетрій (віддзеркалень) , , . Отже,

Складемо таблицю Келі:

.

Операція композиції симетрій правильного трикутника є алгебраїчною.

Перевіримо аксіоми групи.

1) Операція композиції симетрій правильного трикутника є асоціативною (властивості композиції симетрій).

Наприклад, перевіримо, що

.

За таблицею Келі

,

.

2) Нейтральний елемент: .

3) Симетричний елемент: – , – , – , – ,

– .

Таким чином, – група. □