Избранные задачи
-
Пусть последовательность {} сходится и ее предел a>0. Можно ли из {} выделить подпоследовательность, все члены которой отрицательны? (не положительны?).
-
Пусть в некоторой окрестности точки a лежит бесконечно много членов последовательности {}. Следует ли отсюда, что а является пределом последовательности {}? (Что никакая точка вне этой окрестности не является пределом последовательности {}?).
-
Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности {}. Следует ли отсюда, что а является пределом последовательности {}? (Что последовательность {} является ограниченной?)
-
Пусть последовательность {||} сходится. Будет ли из этого вытекать, что последовательность {} будет сходящейся? (Будет ли из этого вытекать, что последовательность {} будет ограниченной?)
-
Пусть последовательность {} сходится и М=sup{}, m=inf{}. Докажите, что: либо n такое, что =M; либо k такое, что =m; либо n,k такие, что =M, =m.
-
Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?
-
Известно, что в некоторой окрестности нуля находится бесконечное число членов последовательности. Следует ли отсюда, что последовательность является бесконечно малой? (бесконечно большой? ограниченной?)
-
Пусть последовательность {} сходится, а {} расходится. Докажите, что {c} сходится при любом c, {}, расходятся. Постройте примеры, показывающие, что последовательность {} может быть как сходящейся, так и расходящейся.
-
Покажите, что для того чтобы монотонно возрастающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.
-
Покажите, что для того чтобы монотонно убывающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.
-
Верно ли утверждение “Если последовательность неограниченна, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность”?
-
Покажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.
-
Покажите, что если монотонная последовательность является неограниченной, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.
-
Пусть последовательность {} такова, что её подпоследовательности , , сходятся. Покажите, что тогда сама последовательность {} будет сходящейся.
-
Пусть , постройте такую последовательность {}, из которой можно выделить две подпоследовательности и , одна из которых сходится к , а вторая - к .
-
Постройте такую последовательность {}, из которой для любого рационального числа r можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к r.
-
Будет ли последовательность, удовлетворяющая условиям задачи 2, ограниченной?
-
Можно ли построить такую последовательность {}, из которой для любого действительного числа а можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к а?
-
Покажите, что из любой ограниченной последовательности {} можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
-
Верно ли утверждение ‘Пусть при всех n и последовательности {} и {} ограничены. Тогда, каковы бы ни были сходящиеся последовательности и , то ”?
-
Существует ли такая последовательность {}, что из любой её подпоследовательности можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность ?
-
Существует ли такая последовательность {}, что из любой её подпоследовательности можно выделить неограниченную частичную подпоследовательность ?
-
Существует ли такая последовательность {}, что из любой её подпоследовательности можно выделить как сходящуюся частичную подпоследовательность так и неограниченную частичную подпоследовательность?
-
Пусть из любой подпоследовательности последовательности {} можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность . Покажите, что исходная последовательность {} будет ограниченной.
-
Пусть из любой подпоследовательности последовательности {} можно выделить частичную подпоследовательность , сходящуюся к . Покажите, что исходная последовательность {} будет сходиться к .
-
Для того чтобы последовательность {} сходилась к необходимо и достаточно, чтобы из любой подпоследовательности последовательности {} можно выделить частичную подпоследовательность , сходящуюся к .
-
Из сходящейся последовательности {} произвольным образом выбираем бесконечное число членов {} Покажите, что из любой подпоследовательности последовательности {} можно выделить частичную последовательность , сходящуюся к .
-
Из сходящейся последовательности {} произвольным образом выбираем бесконечное число членов {} Покажите, что последовательность {} сходится. Найдите предел этой последовательности.