4. Критерий Найквиста

Особенность критерия Найквиста состоит в том, что он оценивает устойчивость САР по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутой части, называемой годографом Найквиста.

Если разомкнутая часть САР устойчива или находится на границе устойчивости, то для её устойчивости необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста при изменении частоты w от 0 до +¥ не охватывал точку с координатами [-1, j0]. На рисунке 2.2а приведены годографы Найквиста для устойчивой разомкнутой части САР (1 – САР устойчива; 2 – САР на границе устойчивости; 3 – САР неустойчива), а на рисунке 2.2б, когда разомкнутая часть САР находится на границе устойчивости (1 – при наличии одного нулевого корня; 2 – при наличии пары чисто мнимых корней).

а) б)

Рисунок 2.2 – Годографы Найквиста

Если разомкнутая часть САР неустойчива, то для её устойчивости необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты w от 0 до +¥ годограф Найквиста охватывал точку [-1, j0] l/2 раз в положительном направлении (против часовой стрелки), где l – число корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью.

5. Логарифмический критерий

Логарифмический критерий – это критерий Найквиста, оценивающий устойчивость САР по логарифмическим частотным характеристикам её разомкнутой части.

Если разомкнутая часть САР устойчива, то для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы число переходов логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) через линию -180 при положительных значениях логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) было чётным (в частном случае равным 0). Пересечение ЛФЧХ линии -180 снизу вверх считается положительным, а сверху вниз – отрицательным. На рисунке 2.3 показаны наиболее характерные ЛФЧХ (1 – САР устойчива; 2 – САР на границе устойчивости; 3 – САР неустойчива).



Рисунок 2.3 – Логарифмические частотные характеристики при устойчивой разомкнутой части САР

Если разомкнутая часть САР неустойчива, то для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через линии -180; -3×180; -5×180; … равнялась l / 2, где l – число корней с положительной вещественной частью. На рисунке 2.4 показаны ЛАЧХ и ЛФЧХ при неустойчивой разомкнутой части САР, когда САР устойчива, т. к. l = 2, а l / 2 = 1.



Рисунок 2.4 – Логарифмические частотные характеристики при неустойчивой разомкнутой части САР

6. Построение области устойчивости сар методом d-разбиения

Областью устойчивости САР называется область в пространстве варьируемых параметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Поверхность, ограничивающая область устойчивости, называется границей области устойчивости.

Для построения области устойчивости в работе рассматривается метод D-разбиения в плоскости одного параметра. D-разбиение – это процесс построения в пространстве параметров областей с различным распределением корней. Линии, разграничивающие эти области, называются кривыми D-разбиения.

Если варьируемым параметром является коэффициент k, то характеристическое уравнение записывается в виде

, (2.7)

где , – степенные полиномы от p.

Заменив в выражении (2.7) p на jw и выразив из уравнения параметр k, имеем, что

. (2.8)

Изменяя частоту w в выражении (8) от -¥ до +¥, строится кривая D-разбиения, приведённая на рисунке 2.5, где n – число корней характеристического уравнения. Так как U(w) чётная функция, то достаточно построить кривую D-разбиения при изменении частоты от 0 до +¥, а на участке от -¥ до 0 кривая строится как зеркальное отображение первой. Штриховка наносится на кривую D-разбиения слева при увеличении частоты.

Рисунок 2.5 – Кривая D-разбиения

Область, внутрь которой направлена штриховка (на рисунке 2.5 область D(n; 0)), может быть областью устойчивости. Чтобы удостовериться в этом, внутри данной области берётся произвольная точка на вещественной оси и проверяется САР на устойчивость по любому из рассмотренных выше критериев. Если требования устойчивости выполняются, то выделенная область является областью устойчивости.