![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •Введение
- •Теоретическая часть Постановка задачи нелинейного программирования.
- •Критерии оптимальности в задачах с ограничениями.
- •Графическое решение задач нелинейного программирования
- •Метод множителей Лагранжа
- •Практическая часть Задачи
- •Решения
- •Заключение
- •Список используемой литературы:
Практическая часть Задачи
Задача 1.
Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
при:
Задача 2.
Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
при:
Задача 3.
Найти точки
экстремума функции
при условии,
что
.
Задача 4.
Найти наибольшее
и наименьшее значение функции
при:
Решения
Задача 1.
Областью
допустимых решений системы неравенств
является выделенный многоугольник
(рис.5), построенный по координатам,
данным ниже:
(1)
x1 |
0 |
2 |
|
||
x2 |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
x1 |
0 |
6 |
x2 |
6 |
0 |
x1 |
0 |
5.5 |
x2 |
11 |
0 |
Полагая значения
целевой функции равным некоторому числу
,
получаем линии уровня, а именно окружности
С центром A(7;3)
и радиусом
.
С увеличением (уменьшением) числа
значения
функции Z
соответственно увеличиваются
(уменьшаются).
Проводя из точки A окружности разных радиусов, видим, что минимальное значение целевая функция принимает в точке B, в которой окружность касается области решений.
Для определения
координат этой точки воспользуемся
равенством угловых коэффициентов прямой
и касательной к окружности в точке B.
Из уравнения прямой
следует, что ее угловой коэффициент
равен
.
Для нахождения углового коэффициента
касательной
берем уравнение
окружности
и, рассматривая
как неявную функцию переменной
,
дифференцируем уравнение окружности
отсюда
.
Приравнивая
найденную производную числу,
получаем одно из уравнений для определения
координат точки B.
Присоединяя к нему уравнения прямой,
на которой лежит точка B,
имеем систему:
Откуда
т.е.
B(5;1).
Таким образом,
Из
рис. 5 видно, что координаты точки C(0;6),
а точки D(2;0).
Максимальное значение функции Z
будет в точке С(0;6) и при этом
.
Задача 2.
Областью
допустимых решений системы неравенств
выделенный является многоугольник
(рис.6), построенный по координатам,
данным ниже:
(1)
x1 |
0 |
12 |
x2 |
8 |
0 |
(2)
x1 |
0 |
15 |
x2 |
7,5 |
0 |
Представим целевую
функцию Z
в виде суммы квадратов, полагая значения
Z
равным некоторому числу
.Представим
:
получаем линии
уровня, а именно окружности
С центром A(1;3),
лежащей в области допустимых решений
и являющейся минимальным значением
целевой функции, и радиусом
.
С увеличением (уменьшением) числа
значения
функции Z
соответственно увеличиваются
(уменьшаются).
Проводя из точки A окружности разных радиусов, видим, что максимальное значение целевая функция принимает в точке С, в которой окружность касается области решений.
Для определения
координат точки B
воспользуемся равенством угловых
коэффициентов прямой
и касательной к окружности в этой точке.
Из уравнения прямой
следует, что ее угловой коэффициент
равен
.
Для нахождения углового коэффициента
касательной берем уравнение окружности
и, рассматривая
как неявную функцию переменной
,
дифференцируем уравнение окружности
отсюда
.
Приравнивая
найденную производную числу,
получаем одно из уравнений для определения
координат точки B.
Присоединяя к нему уравнения прямой,
на которой лежит точка B,
имеем систему:
Откуда
т.е.
B(2,6;6,2).
Из
рис. 6 видно, что координаты точки C(12;0),
а точки D(0;8).
Максимальное
значение функции Z
будет в точке С(12;0) и при этом
Задача 3.
Составим функцию
Лагранжа
.
Найдем ее частные
производные по
, приравнивав их к нулю:
Решение системы
.
Таким образом, в точке
данная
функция может иметь условный экстремум.
Найдем
.
Так как
и
,
то в точке
имеем условный минимум, причем
.
Задача 4.
Найдем частные
производные по
:
Условие (a)
- не подходит;
Условие (b)
- подходит;
Условие (c)
- не подходит;
Условие (d)
- не подходит;
В точке О имеем
условный минимум, причем
,
но указать глобальный минимум нет
возможности.