4.6. Интерполяционные формулы Ньютона

Рассмотрим интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями (4.18), взяв в качестве узлов интерполирования равноотстоящие точки x₀, x₁ = x₀+ h, …,x_i=x₀+ih,…,x_n = x₀+nh. Заменяя разделенные разности их выражениями через конечные разности согласно (4.20)

,

получим

Введем переменную . Тогда формула примет вид

. (4.22)

Полученную формулу называют первым интерполяционным полиномом Ньютона или полиномом Ньютона для интерполирования вперед.

Остаточная погрешность значения выражается формулой (4.8). Если заменить , то она примет следующий вид:

.

На практике величина оценивается согласно (4.21) с помощью конечных разностей (п+1)-го порядка

или определяется абсолютной величиной первого отброшенного слагаемого.

Введем еще одну интерполяционную формулу Ньютона. Для этого запишем полином Ньютона с разделенными разностями (4.18), присоединяя узлы в следующем порядке: :

Введем переменную . и выразим разделенные разности через конечные.

. (4.23)

Эта формула называется вторым интерполяционным полиномом Ньютона, или полиномом Ньютона для интерполирования назад.

Оценка (4.8) остаточной погрешности приближенного значения представится в виде

.

Итак, получены две новые формулы интерполирования, и далее будут получен еще ряд таких формул. Однако следует заметить, что каждая из них является лишь другой формой записи интерполяционного полинома Лагранжа. Поэтому, если отвлечься от различия в обозначениях и в форме записи, то все эти формулы тождественны, когда они построены по одним и тем же узлам интерполирования. Однако в практике вычислений применяются в различных случаях разные формулы. Как уже отмечалось, во-первых, дело связано с тем, что обычно бывает удобнее вести вычисления, если при интерполировании сначала используются ближайшие к x^* узлы, а затем подключаются все более удаленные. При этом первые члены интерполяционных формул дадут основной вклад в искомую величину, а остальные будут давать лишь уменьшающиеся (по модулю) добавки. В этом случае легко установить, на какой разности следует закончить вычисления.

Во-вторых, как было отмечено в разделе 4.1, максимальные значения убывают к середине отрезка, содержащего все узлы, и возрастают к концам его. Поэтому, если имеется возможность при вычислениях для различных x строить интерполяционный полином по различным узлам, то их следует выбирать так, чтобы точка x находилась вблизи середины отрезка, содержащего все узлы интерполирования. В этом смысле мы можем сравнивать по точности различные интерполяционные формулы

4.7. Интерполяционные полиномы с центральными разностями

Возьмем в качестве узлов интерполирования точки , где . Построим интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями

Используя симметричность разделенных разностей относительно своих аргументов и связь их с конечными разностями (4.20), получим

Отсюда

Введя переменную , получим первый интерполяционный полином Гаусса, или полином Гаусса для интерполирования вперед,

(4.24)

В этой формуле используются следующие конечные разности (подчеркнуты):

xi	yi
x-3	y-3
x-2	y-2
x-1	y-1
x0	y0
x1	y1
x2	y2
x3	y3

Если взять узлы интерполирования в другом порядке, а именно , то совершенно аналогично можно получить второй интерполяционный полином Гаусса, или интерполяционный полином Гаусса для интерполирования назад,

(4.25)

Вторая интерполяционная формула Гаусса использует следующие конечные разности:

xi	yi
x-3	y-3
x-2	y-2
x-1	y-1
x0	y0
x1	y1
x2	y2
x3	y3

Взяв полусумму интерполяционных формул Гаусса, получим интерполяционный полином Стирлинга в виде формулы:

(4.26)

Интерполяционный полином Стирлинга использует следующие конечные разности:

xi	yi
x-3	y-3
x-2	y-2
x-1	y-1
x0	y0	1/2		1/2
x1	y1
x2	y2
x3	y3

Остаточный член интерполяционных формул (4.24), (4.25) и (4.26) имеет следующий вид

(4.27)

Например, для полинома Стирлинга второй степени

,

остаточный член

.

Получим еще одну форму интерполяционного полинома. Для этого применим вторую интерполяционную формулу Гаусса к точке х₁, используя для ее построения узлы . Тогда

где . Легко видеть, что , где . Выразим в через t. Получим

Полусумма этой формулы и первой формулы Гаусса (4.24), построенной по узлам , даст интерполяционный полином Бесселя:

(4.28)

Полином Бесселя особенно удобен для интерполирования на середину, т.е. для . Действительно, в этом случае члены, содержащие разности нечетного порядка, обращаются в нуль. В формуле Бесселя используются следующие разности:

xi	yi
x-3	y-3
x-2	y-2
x-1	y-1
x0	y0
	1/2		1/2		1/2
x1	y1
x2	y2
x3	y3
x4	y4

Остаточный член интерполяционного полинома Бесселя имеет вид

(4.29)

В частности, для полинома Бесселя первой и третьей степени

остаточные члены имеют вид