2. Некоторые свойства двойного интеграла

Свойство 1. Если функция f(x,y) интегрируема на области (Р) и k=const – произвольное число, то функция kf(x,y) также интегрируема на области (Р) и справедливо равенство:

.

Свойство 2. Если функция f(x,y) и g(x,y) интегрируемы на области (Р), то функция также интегрируема на области (Р) и справедливо равенство:

_{Свойство 2 справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.}

Свойство 3 (аддитивность интеграла). Если область (Р) разбита на две квадрируемые области (P₁) и (P₂) без общих внутренних точек и функция f(x,y) интегрируема на (P), (P₁) и (P₂), то интеграл по всей области равен сумме интегралов по её частям:

.

Свойство 4. Если и интегрируема на области (Р), то

Свойство 5. Если для функций f(x,y) и g(x,y), интегрируемых на области (Р), на этой области выполняется неравенство то

,

то есть неравенства можно почленно интегрировать.

Свойство 6. Если функция f(x,y) интегрируема на области (Р), то функция также интегрируема на области (Р) и справедливо неравенство:

Свойство 7 (теорема о среднем значении). Если функция f(x,y) непрерывна на замкнутой ограниченной области (P), то в этой области существует такая точка , что , где - площадь области (P).

3. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием

1) Случай прямоугольной области.

Пусть функция f(x,y) определена на области (P), где (P) – прямоугольник , и интегрируема по y на отрезке для любого фиксированного x из отрезка . Это означает, что .

Тем самым на отрезке определена функция .

Если функция интегрируема на , то есть существует интеграл

,

то этот интеграл называется повторным интегралом от функции f(x,y) по прямоугольнику (P), взятым сначала по переменной y, а затем по переменной x.

Этот интеграл обозначают: . (4)

Аналогично определяется повторный интеграл . (5)

Теорема 3.1. Если функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике (P), то существуют повторные интегралы (4) и (5), причем справедлива формула

. (6)

2) Случай простых областей первого и второго типа.

Пусть функция f(x,y) определена на замкнутой области (P), представляющей собой плоскую фигуру, ограниченную снизу и сверху кривыми и , где функции и непрерывны на и , слева и справа – прямыми, . Такая область называется простой областью первого типа.

Рассуждая аналогично случаю прямоугольной области, вводится понятие повторного интеграла . (7)

Теорема 3.2. Если функция f(x,y) непрерывна на области (P), а функции и непрерывны на , то существует повторный интеграл (7) и справедлива формула:

Пусть далее функция f(x,y) определена на замкнутой области (P), представляющей собой плоскую фигуру, ограниченную слева и справа кривыми и , где функции и непрерывны на и , а снизу и сверху – прямыми , , . Такая область называется простой областью второго типа.

Рассуждая аналогично случаю прямоугольной области, вводится понятие повторного интеграла . (8)

Теорема 3.3. Если функция f(x,y) непрерывна на области (P), а функции и непрерывны на , то существует повторный интеграл (8), причем справедлива формула

.

Замечание. Если область (P) не является простой областью первого или второго типа, то её разбивают по возможности на конечное число простых областей первого или второго типа и вычисляют интеграл по всей области как сумму интегралов по простым областям.