Российская Федерация

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Брянский государственный университет

имени академика И.Г. Петровского

Кипень И.С., Пуличева Е.А.

Функции нескольких переменных

Методическое пособие

к выполнению контрольных работ

для студентов специальностей

«Математика и информатика»,

«Математика и физика»,

«Математика. Компьютерные науки»

Брянского государственного университета

Брянск 2008

22.16 я 73

К-42

Кипень И.С., Пуличева Е.А. Методическое пособие для студентов специальностей Математика и информатика, Математика и физика, Математика. Компьютерные науки Брянского государственного университета. – Брянск: , 2008. – 64 с.

Пособие содержит необходимые рекомендации для студентов математических специальностей по выполнению контрольных работ по темам Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, Кратные интегралы, Криволинейные интегралы. Может быть использовано студентами других специальностей БГУ при организации самостоятельной работы.

Рецензенты:

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа БГУ О.В. Ярославцева,

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики бгита н.А. Часова

Печатается по решению ученого совета физико-математического факультета Брянского государственного университета.

Контрольная работа по теме

«Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных»

Теоретическая часть

Предварительные сведения

Множество {x,y}, состоящее из двух элементов, называется парой. Пара, как и любое множество, определяется своими элементами. Упорядоченная пара (x,y) определяется еще и порядком следования элементов, т.е. . Аналогично определяется упорядоченная тройка, четверка и т.д. Упорядоченный набор из n элементов обозначается .

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, содержащее все упорядоченные наборы , где , т.е.

.

Если , то называется числовой плоскостью. Каждой упорядоченной паре чисел (x,y) соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка М(x,y), и наоборот, каждой точке на плоскости соответствует пара (x,y). Поэтому точка на плоскости отождествляется с упорядоченной парой.

Прямое произведение называется числовым трехмерным пространством.

- n-мерное пространство .

Упорядоченный набор называется точкой пространства , число - i-й координатой этой точки.

Обозначается , М.

В пространстве определяются сложение элементов, умножение элемента на действительное число. Пусть , :

1) ;

2) .

Пусть Е – непустое множество.

Определение 1. Метрикой (расстоянием) на множестве Е называется неотрицательная функция =(х,у)0, определенная х,уЕ и удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам метрики):

1. (х,у)=0  х=у (аксиома тождества);

2. (х,у)=(у,х) (аксиома симметрии);

3. (х,z)(х,у)+(у,z) zЕ (аксиома треугольника).

Определение 2. Множество Е с введенной на нем метрикой  называется метрическим пространством и обозначается (Е,).

Таким образом, метрическим пространством называется пара, состоящая из множества Е и метрики  на Е. Элементы метрического пространства Е называются его точками.

В пространстве метрика определяется следующим образом:

,

где и .

Пространство с введенной таким образом метрикой , т.е. пара , называется n-мерным евклидовым пространством.

В случае n=1, т.е. в , ; в случае n=2, т.е. в , .

Пусть - фиксированная точка, .

Определение 3. n-мерным открытым шаром в пространстве называется множество всех точек , удовлетворяющих неравенству : .

Фиксированная точка a называется центром шара, число - радиусом шара.

При n=1, .

При n=2, - открытый круг с центром в точке а(а₁,а₂), радиусом .

При n=3, - обычный шар (без ограничивающей его сферы) в трехмерном пространстве.

Определение 4. Замкнутый шар в - .

Определение 5. Окрестностью точки называется любой открытый шар с центром в этой точке.

Обозначается V(a).

Определение 6. -окрестностью точки называется открытый шар радиуса  с центром в этой точке.

Обозначается .

- проколотая окрестность точки а.

Пусть задано множество .

Определение 7. Точка a называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность точки а, целиком лежащая во множестве Е: .

Совокупность всех внутренних точек множества Е называется внутренностью множества Е. Обозначается intE.

Определение 8. Точка называется внешней точкой множества Е, если , не содержащая ни одной точки множества Е.

Определение 9. Точка называется граничной точкой множества Е, если в любой окрестности точки а имеются как точки принадлежащие Е, так и точки не принадлежащие Е.

Граничная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству.

Определение 10. Точка называется предельной точкой множества Е, если в любой окрестности точки а содержится хотя бы одна точка множества Е, отличная от а.

Определение 11. Точка называется изолированной точкой множества Е, если она не является предельной точкой множества Е.

У изолированной точки а множества Е , не содержащая ни одной точки множества Е, кроме самой точки а.

Определение 12. Множество Е называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Определение 13. Множество Е называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Определение 14. Множество называется дополнением множества Е.

Определение 15. Множество Е называется ограниченным, если существует замкнутый шар, содержащий в себе множество Е: .

Определение 16. Непрерывной кривой L в пространстве , соединяющей точки и называется множество , где функции непрерывны на [a;b], .

Определение 17. Множество Е называется связным (линейно связным), если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.

Определение 18. Множество называется областью, если оно открыто и связно.