Примеры решения задач

Пример 1. Найти область определения функции .

Решение. Для того, чтобы z имело действительное значение, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, т.е. x и y должны удовлетворять неравенству или . Таким образом, область определения данной функции - это множество точек, лежащих внутри и на границе круга радиуса 1 с центром в начале координат.

Графиком функции является полусфера радиуса 1 с центром в начале координат, расположенная выше плоскости XOY.

Пример 2. Найти и изобразить область определения функции .

Решение. Т. к. логарифмическая функция определена только при положительном значении аргумента, то область определения функции находим из системы Она равносильна неравенству или , которому удовлетворяет множество точек плоскости, лежащих между двумя прямыми y=x, y=-x, кроме точек этих прямых.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. Умножая числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, получим:

.

Пример 4. Существует ли предел ?

Решение. Пусть точка M(x;y) стремится к точке O(0;0) по прямой y=kx, проходящей через точку . Тогда получим

.

Таким образом, приближаясь к точке O(0;0) по различным направлениям, соответствующим разным значениям k, получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке O(0;0) не существует.

Пример 5. Доказать, что функция не имеет предела в точке O(0;0).

Решение. Перейдем к полярным координатам: , . Тогда функция f(x;y) примет вид:

. (*)

Если бы существовал предел , то . Но из (*) очевидно, что такого числа А не существует.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Перейдем к полярным координатам с центром в точке O(0;0): , . Имеем . Т.к. функция ограничена , то

.

Пример 7. Найти точки разрыва функции .

Решение. Ясно, что функция может иметь разрыв лишь в точках, где знаменатель обращается в нуль. Решая уравнение относительно у, получаем , . Значит, данная функция имеет разрывы на прямой и параболе.

Пример 8. Найти частные производные функции z=x^y (x>0).

Решение. При вычислении частной производной функции z по переменной x рассматриваем функцию z как функцию только одной переменной x, т.е. считаем, что y имеет фиксированное значение. При фиксированном y функция z=x^y является степенной функцией аргумента x. По формуле дифференцирования степенной функции получаем: . Аналогично, при вычислении частной производной считаем, что фиксировано значение x, и рассмотрим функцию z=x^y как показательную функцию аргумента y. Получаем .

Пример 9. Найти полный дифференциал функции в точке М(2;-2;1).

Решение. По определению Вычислим частные производные функции в точке М:

; ;

; ;

; .

Следовательно, полный дифференциал в точке М равен

.

Пример 10. Дана функция .

а) Определить градиент в точке М(1;1;1).

б) Найти производную в точке М(1;1;1) в направлении вектора .

Решение. а) Найдем частные производные функции u в точке M:

; ; .

Следовательно, .

б) Найдем направляющие косинусы вектора .

, . Частные производные функции u в точке M вычислены выше. Тогда по формуле (3)

.

Пример 11. Найти производную функции в точке М(1;1;-1) по направлению градиента функции в этой точке.

Решение: а) Для вычисления градиента функции  найдем ее частные производные в точке М(1;1;-1):

; ; .

Итак, .

б) Найдем направляющие косинусы вектора градиента .

. Тогда .

в) Вычислим частные производные функции f в точке M.

; ;.

Получаем .

Пример 12. Определить угол между градиентами функции в точках А(;0;0) и В(0;;0).

Решение: Имеем , , . Тогда

, .

Отсюда длины градиентов ,. Скалярное произведение градиентов . Тогда . Следовательно, .

Пример 13. Найти и , если

Решение. Данная функция является функцией двух независимых переменных x и y. Переменные u и v – промежуточные. По формулам (5) получаем:

Пример 14. Найти , если .

Решение. Исходная функция есть функция одной независимой переменной t; переменные x и y являются промежуточными. Поэтому производную найдем по формуле (6):

Получаем:

₌

Подставив в полученное выражение вместо x и y соответственно и , окончательно получим:

Пример 15. Найти для функции , где .

Решение. Данная функция является функцией вида где . Тогда

.

Пример 16. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Вначале найдем частные производные первого порядка:

, .

Продифференцировав их еще раз, получим:

;

;

;

.

Сравнивая последние два выражения, видим, что .

Пример 17. Найти полный дифференциал второго порядка функции .

Решение. Находим частные производные второго порядка:

, ;

, , .

Следовательно, по формуле (7) .

Пример 18. Найти производную функции, заданной неявно уравнением

Решение. Перепишем данное уравнение в виде . Здесь то есть n=1, и данное уравнение задаёт неявно y как функцию от х: y=y(x).

Преобразуем это выражение, используя исходное уравнение . Из него получаем и, следовательно, . Тогда

Пример 19. Найти производные первого и второго порядков для функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Находим частные производные 1-го порядка для функции z(x,y), заданной неявно уравнением F(x,y,z)=0, где .

; .

Учитывая, что z=z(x,y), находим вторые производные:

Пример 20. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке М₀(1;2;-1).

Решение. Вычислим значения частных производных в точке М₀(1;2;-1):

Подставляя их в уравнения (12) и (13), получаем соответственно уравнение касательной плоскости и уравнение нормали .

Пример 21. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой .

Решение. Прежде всего, определим аппликату точки касания из условия, что точка лежит на поверхности. Подставив в данное уравнение поверхности х=1 и у=1, получим . Следовательно, точкой касания является точка М₀(1;1;3). Т.к. уравнение поверхности разрешено относительно z, то касательная плоскость определяется уравнением (10), а нормаль – уравнением (11).

Вычислим значения частных производных функции в точке (1;1):

; .

Получаем уравнение касательной плоскости или

и уравнение нормали .

Пример 22. Исследовать на экстремумы функцию .

Решение. Найдем частные производные первого порядка и приравняем их к нулю: , ,

 

Отсюда получаем четыре критические точки , , , . Вычислим вторые частные производные:

, , .

В точке имеем: , , . Получаем . Т.к. , то является точкой локального минимума.

В точке , , , . Откуда . Т.к. A=-10<0,то M₂ является точкой локального максимума.

В точке имеем: A=-2, B=4, C=0_. В точке : A=-2, B=-4, C=-2. В этих точках , поэтому в точках и экстремумов нет.

Пример 23. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Областью определения функции является вся плоскость . Найдем частные производные:; .

Частные производные не существуют в точке , значит, эта точка является критической. Чтобы определить, имеет ли функция экстремум в точке , исследуем знак в некоторой окрестности рассматриваемой точки:

. Очевидно, что в любой окрестности точки . Значит, в этой точке функция имеет локальный минимум .

Пример 24. Найти локальные экстремумы функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Для определения точек составляем систему (см. формулу (14)):

Из этой системы находим . Для проверки достаточных условий находим .

Т.к. , то , ,

, , .

В точке (1,-1,-2): , . Т.к. , то точка

(1,-1,-2) - точка локального минимума. В точке : .

. Т.к. , то точка - точка локального максимума.

Итак, .

Пример 25. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²+y²-xy+x+y в области, ограниченной линиями x=0, y=0, x+y=-3.

Решение.1) Найдем критические точки внутри области D.

Для этого вычислим и и решим систему уравнений

Получаем , т.е. - критическая точка, .

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области. На прямой OB, где х=0, уравнение исходной функции примет вид: , где . Следовательно, задача сводится отысканию наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной на отрезке .

Находим , при . Получаем точку , .

На концах отрезка OB: ;.

Аналогично на прямой ОА, где у=0, имеем . Находим критическую точку:, при . Следовательно,-критическая точка,. В точке А .

Рассмотрим отрезок АВ прямой . Подставив в исходное уравнение, получим ; . Ясно, что при . -критическая точка, . Значения функции на концах отрезка АВ уже найдены.

Сравнивая все полученные значения функции z, заключаем, что в точках и , в точке .

Пример 26. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема, полная поверхность которого имеет данную площадь S.

Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда , где x, y, z - измерения параллелепипеда, а площадь его поверхности . Отсюда находим . Подставляя это выражение в формулу объема параллелепипеда, получим функцию двух переменных x, y : .

Найдем экстремум этой функции

Т.к. (по смыслу задачи), то из этой системы следует, что . Вычисляя вторые частные производные, получаем:

, , .

Отсюда , . Тогда .Т.к., то при функция V=xy имеет локальный максимум. Далее находим . Таким образом, наибольший объем имеет куб с ребром, равным .