Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Если поверхность задана уравнением z=f(x,y), то уравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности имеет вид:

(10)

а уравнение нормали, проведенной через точку поверхности, записанное в каноническом виде:

(11)

В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде F(x;y;z)=0 и F(x₀;y₀;z₀)=0, то уравнение касательной плоскости в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид

(12)

а уравнение нормали

(13)

Экстремумы функции двух переменных

Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀;у₀).

Определение 1. Говорят, что функция z=f(x;y) имеет в точке М₀(х₀;у₀) локальный максимум, если для всех точек M(x;y), из некоторой окрестности точки _М0(_х0;_у0).

Определение 2. Говорят, что z=f(x;y) в точке М₀(х₀;у₀) имеет локальный минимум, если для всех точек M(x,y), из некоторой окрестности М₀(х₀;у₀).

Локальный максимум и локальный минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция z=f(x,y) достигает экстремума в точке М₀(х₀;у₀), то ее частные производные первого порядка равны в этой точке нулю, то есть и .

Определение 3. Точки, в которых частные производные функции равны нулю (или не существуют) называются критическими точками функции.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в некоторой области, содержащей точку М₀(х₀;у₀), функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Пусть М₀(х₀;у₀) является критической точкой, то есть и .

Обозначим .

Тогда

1) если то имеет в точке М₀(х₀;у₀) экстремум, причем при A<0 (C<0)- локальный максимум, при - локальный минимум;

2) если , то точка М₀(х₀;у₀) не является точкой экстремума;

3) если , то никакого заключения о характере критической точки сделать нельзя, требуются дополнительные исследования.

Экстремумы неявно заданной функции

Если неявная функция определяется уравнением , то .

Пусть функция y дважды непрерывно дифференцируема в . Тогда в критической точке справедливы равенства:

,

,, где .

Поскольку справедливо и обратное утверждение, то критические точки могут быть найдены из системы .

Пусть уравнение F(x;y;z)=0 задает неявно функцию z=f(x;y). Пусть функция z дважды непрерывно дифференцируема в . Тогда критические точки находятся из системы:

(14)

Достаточные условия экстремума формулируются так же, как в случае явного задания функции.

Задачи о наибольших и наименьших значениях

Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x;y) в некоторой замкнутой области .

При решении этой задачи целесообразно придерживаться следующего плана:

1. Найти критические точки внутри области и значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области . Для этого границу области следует задать либо одним уравнением, либо параметрически. Тогда на границе исходная функция будет функцией одной переменной.

3. Если в области D существуют точки, в которых функция не дифференцируема, то надо найти значения функции в них.

4. Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.