Частные производные и дифференциалы высших порядков

Определение 1. Частными производными второго порядка функции z=f(x;y) называют частные производные от ее частных производных первого порядка:

; ; ; .

Используются и другие обозначения:

, , , .

Если смешанные производные и существуют в некоторой окрестности точки (x;y), непрерывны в точке (x;y), то результаты дифференцирования и не зависят от порядка дифференцирования, т.е. =.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высокого порядка. Например, смешанная частная производная третьего порядка сначала два раза по x, а затем один раз по y: .

Определение 2. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d²z функции z=f(x;y) называется дифференциал от ее полного дифференциала в этой точке: d²z=d(dz).

Если функция z=f(x;y) в рассматриваемой точке имеет непрерывные частные производные второго порядка, причем x и y независимые переменные, то d²z находят по формуле:

. (7)

Полные дифференциалы более высоких порядков определяются аналогично: d³z=d(d²z), d⁴z=d(d³z) и т.д.

Рассмотрим функцию n независимых переменных u=f(x₁,x₂,…,x_n). Частная производная от по переменной x_k т.е. выражение называется частной производной второго порядка и обозначается одним из следующих символов: , .

Аналогично определяются производные порядка выше второго. Если функция n раз дифференцируема, в некоторой точке, и все производные n-го порядка непрерывны в этой точке, то значения смешанных производных n-го порядка не зависят от порядка дифференцирования.

Дифференциал n-го порядка определяется индуктивно по формуле .

Неявные функции

Пусть имеется функция n+1 переменной . Когда говорят о неявной функции, то часто имеют ввиду задание функции y как функции от n переменных с помощью уравнения

. (8)

Поскольку далеко не всегда удается решить уравнение (8) относительно y в более или менее явном виде, строгое определение неявной функции и условия ее существования требуют дополнительных пояснений.

Определение 1. Пусть функция F от n+1 переменной определена и непрерывна на некотором множестве . Если в каждой точке существует единственное значение y, которое совместно с x удовлетворяет уравнению (8), то уравнение (8) на множестве G определяет функцию n переменных , и имеет место тождество на G.

Естественно, возникает вопрос о существовании и дифференцируемости неявной функции в случае, когда функция F задана. Удобное достаточное условие даётся следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть функция F и ее частные производные непрерывны в некоторой окрестности точки , и пусть , а . Тогда уравнение (8) определяет функцию определенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки , причем , а частные производные вычисляются по формулам:

(9)

где

Поясним, откуда получается формула (9). В самом деле, по определению неявной функции f справедливо тождество

^,

дифференцируя которое по , получим:

,

откуда и получается формула (9).