Понятие функции нескольких переменных

Определение 1. Пусть G - некоторое множество в и пусть каждой точке x=(x₁,…,x_n)G в силу некоторого закона соответствует единственное число u. Тогда говорят, что u есть функция от переменных x₁,x₂,…,x_n, определенная на множестве G. Это символически записывается в виде u=f(x₁,x₂,…,x_n). Множество G называется областью определения функции, а те значения, которые принимает u, - областью изменения функции f. В случае n=2, обычно эту функциональную зависимость пишут в виде z=f(x,y) а при n=3 –в виде u=f(x,y,z).

Предел функции. Непрерывность

Пусть G - некоторое множество в и f - функция, определенная на G. По аналогии с функциями одной переменной вводится понятие предела функции нескольких переменных в данной точке.

Пусть - предельная точка множества G.

Определение 1 (по Коши). Число А называется пределом функции f(x₁,x₂,…,x_n) в точке , если для каждого числа найдется такое число , что для всех точек , удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .

Обозначают или .

Определение 2 (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x₁,x₂,…,x_n) в точке , если для произвольной последовательности точек , , , таких что , выполняется равенство .

Для пределов функций n переменных справедливы привычные свойства предела функции одной переменной:

;

;

;

, если .

Все перечисленные свойства следует понимать так, что если существует и конечно выражение справа, то существует выражение слева, и имеет место равенство. В качестве f(M) рассматривается функция любого числа переменных.

Определение 3. Функция z=f(x;y) называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и предел функции в точке М₀ равен значению функции в этой точке, т.е.

. (1)

Аналогично определяется непрерывность функции n переменных.

Если обозначить ,, то равенство (1) можно переписать так:

или ,

или ,

где называется полным приращением функции z=f(x;y) в точке .

_{Таким образом, получаем другое определение функции, непрерывной в точке.}

Определение 4. Функция z=f(x;y) называется непрерывной в точке , если бесконечно малым приращениям x и y соответствует бесконечно малое приращение функции z.

Определение 5. Функция, непрерывная в каждой точке множества E, называется непрерывной на множестве E.

Определение 6. Точка , в которой не выполняется условие непрерывности, называется точкой разрыва функции z=f(x;y). Условие непрерывности может не выполняться, например, в случаях:

1) z=f(x;y) определена во всех точках некоторой окрестности точки , за исключением самой точки ;

2. z=f(x;y) определена во всех точках окрестности точки , но не существует .

3. z=f(x;y) определена во всех точках окрестности точки , и существует , но .

Частные производные и дифференцируемость функции. Дифференциал

Пусть f - функция, определенная на каком-то открытом множестве G в пространстве . Если n>1, то через каждую точку проходит бесконечно много прямых, и мы можем ставить вопрос о скорости возрастания функции f вдоль любой из них. Однако, оказывается, что имеется всего n главных направлений, вдоль которых достаточно знать скорость возрастания функции, для того, чтобы с достаточной точностью представлять поведение функции в малой окрестности точки.

Пусть точка x₀ имеет координаты .

Определение 1. Частным приращением функции u=f(x₁,x₂,…,x_n) в точке x₀, соответствующим приращению x_j аргумента x_j, называется величина .

Определение 2. Для любого j=1,2,…,n частной производной функции u=f(x₁,x₂,…,x_n) по аргументу x_j в точке называется предел (если он существует и конечен):

.

Для обозначения частной производной функции в точке x₀ по переменной x_j также принята запись .

Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что остальные переменные постоянны, то все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных. Приведем их в обозначениях двух типов.

1) ; , если a постоянная;

2) ; ;

3); ;

4); .

Определение 3. Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке (x₀;y₀) если она определена в окрестности этой точки, и если ее полное приращение может быть представлено в виде: , где и не зависят от x, y, а - бесконечно малые величины относительно при х, у0.

Определение 4. Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке, то часть приращения z, которая линейным образом зависит от x, y, называется полным дифференциалом функции z и обозначается через dz. Итак, dz=Ax+By.

Аналогично определяется дифференцируемость функции n переменных u=f(x₁,x₂,…,x_n).

Определение 5. Функция u=f(x₁,x₂,…,x_n) называется дифференцируемой в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, и ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

,

где при , когда х_j0, j=1,2,…,n.

Если функция u дифференцируема в точке M, то в этой точке существуют частные производные , j=1,2,…,n, причем . Таким образом, условие дифференцируемости можно записать в виде:

.

Определение 6. Линейная относительно приращений аргументов часть приращения u дифференцируемой функции u в точке M называется дифференциалом этой функции в точке M и обозначается du.

Следовательно, . Используя то, что для дифференцируемой функции ( j=1,2,…,n), а , выражение для дифференциала можно записать следующим образом:

.

Эта формула остается справедливой и в том случае, когда аргументы x₁,x₂,…,x_n являются дифференцируемыми функциями от новых переменных t₁,t₂,…,t_m:

x₁=(t₁,t₂,…,t_m),…, x_n=(t₁,t₂,…,t_m).

Но в этом случае dx₁,…,dx_n являются не приращениями переменных x₁,x₂,…,x_n (как в случае, когда x₁,x₂,…,x_n - независимые переменные), а дифференциалами функций. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.